resumo

ESCOLA SECUNDÁRIA DE SANTA MARIA DA FEIRA
Outubro de 2014
12º ano
Ficha de trabalho nº 9
Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

A Ana, a Rita e a Sofia moram na cidade de Espinho onde quase todas as ruas são perpendiculares e os quarteirões iguais.
A
A – residência da Ana
R  residência da Rita
S  residência da Sofia

N
O
R

S

S

Suponha que a Ana caminha apenas em duas direcções: ou vai para Este ou para Sul.
Indique quantos caminhos diferentes tem a Ana para chegar a casa da:
a) Rita

b) Sofia

c) Sofia passando pela casa da
Rita

Triângulo de Pascal
O conjunto de números obtidos no problema anterior é famoso na história da matemática. Para melhor se perceber as suas propriedades e a lei de formação é conveniente representá-lo de outra forma. As duas linhas formadas só por algarismos 1, em vez de ficarem na horizontal ou na vertical, vão ficar inclinadas.

O triângulo pode ser escrito na seguinte forma:

Propriedades do Triângulo de Pascal:
• Cada linha começa e acaba em 1.

𝑛

𝐶0 = 𝑛 𝐶𝑛 = 1

• Em cada linha, elementos igualmente afastados dos extremos são iguais.
𝑛
𝐶𝑝 = 𝑛 𝐶𝑛−𝑝 , com 𝑛, 𝑝 ∈ ℕ0 e 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛
• A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte.
𝑛
𝐶𝑝 + 𝑛 𝐶𝑝+1 = 𝑛 +1𝐶𝑝+1 , com 𝑛, 𝑝 ∈ ℕ0 e 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛

• A soma dos elementos de qualquer linha 𝑛, com 𝑛 ∈ ℕ0 , é 2𝑛 .
𝑛
𝐶0 + 𝑛 𝐶1 +. . . + 𝑛 𝐶𝑛 = 2𝑛
• O número de elementos de uma linha 𝑛, com 𝑛 ∈ ℕ0 , é 𝑛 + 1
Binómio de Newton
Observe o seguinte padrão:

Nota:

Note que no desenvolvimento de 𝑎 + 𝑏

𝑛

se tem:

• O grau do polinómio do desenvolvimento de 𝑎 + 𝑏

𝑛

é 𝑛.

• Os coeficientes são os números do triângulo de Pascal.
De um modo geral, tem-se:
𝑎+𝑏

𝑛

= 𝑛 𝐶0 𝑎𝑛 + 𝑛 𝐶1 𝑎𝑛−1 𝑏 + 𝑛 𝐶2 𝑎𝑛−2 𝑏 2 +. . . + 𝑛 𝐶𝑛−1 𝑎𝑏 𝑛−1 + 𝑛 𝐶𝑛 𝑏 𝑛 , com 𝑛 ∈ ℕ0 .
Fórmula do Binómio de
Newton

Ou,