RESUMO

TRABALHO DE CÁLCULO
Nome :

Curso:

Séries de Taylor
Teorema (Expansão em Série de Taylor): Seja uma função infinitamente diferenciável qualquer. Então, temos que onde E(x) é a função que representa o erro de truncatura, e f(n)(x) é a n-ésima derivada de f. Esta representação de f é dita centrada em a, pois o polinômo que aparece antes do erro de truncatura assume valor igual a f(a), ou seja, o erro de a é igual a zero. Uma maneira alternativa de representar a função, iterando nosso processo o quanto quisermos, é

Demonstração: Como nossa intenção é achar um polinômio P(x) tal que este molde suficientemente bem a função, devemos querer que

Então, temos que

Como queremos determinar o coeficiente independente de P de modo que a função se aproxime no ponto a, é natural tomar este coeficiente como f(a). Os outros conseguimos através de sucessivas derivações: Derivando até tornar o termo independente vemos que, de fato,

Integrando esta ultima equação, com o devido coeficiente líder em seu lugar, e fazendo x = a, encontramos A2:

indutivamente, temos que

Logo, nosso método de aproximação polinomial que melhor molda a função em uma vizinhança de um ponto a é

Exemplo: Temos a função . Faça sua representação em séries de Taylor e, com isso, encontre uma soma infinita que represente e.
Solução: Como veremos a diante, a derivada de é a própria função , então todas as derivadas da função serão ela mesma. Com essa informação, temos, substituindo na série de Taylor (com a = 0),

Para expressar como uma soma infinita, tudo o que temos a fazer é tornar : Essa solução mostra uma utilidade muito grande da expansão de Taylor: achar representações interessantes para irracionais transcendentes.

SÉRIES DE MACLAURIN
A série de Maclaurin para é apenas a série de Taylor para em . A questão fica colocada na forma:

e assim por diante. É evidente que se verifica para todo . Portanto, os coeficientes da