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Conceito de matrizes

Definição de Matriz

Uma matriz real ou complexa é uma função que cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real ou complexo.
Uma forma pratica para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo números reais ou complexos. Identificaremos a matriz abaixo como a letra A:

[pic]

Definições básicas sobrematrizes

➢ Ordem: se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é n x n.

➢ Posição de um elemento: na tabela acima a posição de cada elemento aij= a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i.j);

➢ Notação para matriz:indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)];

➢ Diagonal principal: a diagonal principal da matriz é indicada peloselementos da forma a(i,j) onde i=j;

➢ Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., n=n;

➢ Diagonal secundária de uma matriz quadrada: ela é em ordem de n e é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4, n-3), a(5,n-4)....a(n-1,2), a(n,1)

➢ Matriz diagonal: é a que tem elementos nulos forada diagonal principal;

➢ Matriz real: é aquela que tem números reais como elementos;

➢ Matriz complexa: é aquela que tem números complexos como elementos;

➢ Matriz nula: é aquela que possui todos os elementos iguais a zero;

➢ Matriz identidade: ela é denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal;


Exemplos dematrizes:


Matriz 4x4 de números reais:
|12 |-6 |7 |18 |
|-23 |-24 |0 |0 |
|0 |0 |5 |0 |
|0 |0 |0 |9 |


Matriz 4x4 de números complexos:


|12 |-6+i |7 |i |
|-i |-24 |0 |0 |
|0 |0 |5+i |5-i |
|0 |0 |0 |9 |

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:


|0 |0 ||0 |0 |

Matriz nula com três linhas e duas colunas:
|0 |0 |
|0 |0 |
|0 |0 |

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |1 |





Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

|23 |0 |0 |0 |
|0 |-56 |0 |0 |
|0 |0 |0 |0 |
|0 |0 |0 |100 |

DeterminanteToda matriz quadrada A = (aij)mxn de um elemento real de ordem n esta associado a um único número real chamado determinante da matriz A.

Representação

O determinante da matriz A pode ser representado por:

[pic]

Matrizes de ordem 1

Para a matriz A = [a11] o determinante é o próprio elemento a1. det A=a11.


Matrizes de ordem 2

Considerando a matriz:

[pic]

Odet A é calculado usando uma regra prática, onde devemos seguir os traços da diagonal, e multiplicar os elementos entre si, fazendo a associação dos sinais indicados:

[pic]




Exemplo:


[pic]

Matriz de ordem 3

Considere:

[pic]


O detA de uma matriz de ordem 3 pode ser calculado utilizando uma regra prática chamada Regra de Sarrus, onde repetem-se, à direita da matriz,as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.

➢ O primeiro passo é repetir as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna:

[pic]

➢ Agora para obter os produtos multiplicamos os elementos entre si:


[pic]

Obtemos assim o resultado :

a11. a22 .a33
a12. a23. a31
a13. a21. a32➢ Agora para obter o resultado no sentido inverso:

[pic]


Obtemos assim o resultado:

a13. a22. a31
a11. a23. a32
a12. a21. a33

Exemplos:



Regra de Sarrus

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3:

Repetem-se, á direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si,...
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