Resumo Integrais
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IntegraisDefinição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:
=
+
Propriedades da Integral Indefinida. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então:
i. ii. +
=
=
Método da substituição. Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx:
.
=
=
+
Método de Integração por Partes. Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,
. ′
=
.
−
.
Na pratica, costumamos fazer
u = f(x) du v = g(x) dv
f ' (x) dx g '(x) dx
Substituindo em (1), vem:
.
que é a formula de integração por partes.
= . −
.
Áreas
Caso I. Calculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f e continua e f(x)>0, [a,b].
Neste caso, a área e dada por:
=
Caso II. Calculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f e continua e f(x)≤ 0, [a,b].
E fácil constatar que neste caso basta tomar o modulo da integral
=
, ou seja:
=
Caso III. Calculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a e x= b, onde f e g são funções continuas em [a, b] e f(x) ≥ g(x).
Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores não negativos para todo x є [a, b]
Então a área e calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g, ou ainda,
=
−
=
−
Integração de Funções Trigonométricas
As integrais
;
Ex:
+
+
2
!
Usando o método da substituição, fazemos u= (x + 1) . Então du = 2(x + 1) dx, temos:
+
+
!
=
!
= − ! cos u + C
= − ! cos
+
!
+C