Resumo geometria euclidiana

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INTRODUÇÃO

Axiomas e teoremas esta é a estrutura da Geometria, desde "Elementos" de Euclides, escrito no século III A.C., onde ele tentou definir os conceitos fundamentais.
Atualmente, a Geometria aceita por normas:
- Enunciar, sem definição, os conceitos fundamentais.
- Admitir, sem demonstração, certas propriedades que relacionam estes conceitos, enunciando os axiomas correspondentes.
-Deduzir logicamente as propriedades restantes.
O que são os axiomas?
São afirmações tantas vezes provadas na prática, que é muito pouco provável que alguém delas duvide. Deverão ser o menor número possível.
Um sistema de axiomas deve satisfazer a três propriedades, que são: plenitude, independência e compatibilidade.
O sistema deverá ser pleno ou completo, isto é, não podemos afastarafirmações nas quais forçosamente teremos que nos basear.
Consideremos, para exemplificar, um sistema de equações do 1° grau com três incógnitas (bastante análogo a condições geométricas). Consideremos cada incógnita como um conceito sujeito a definição e cada equação um axioma.
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
O sistema não é completo. Não podemos estabelecer os valores das incógnitas, pois o número deequações é menor que o número de incógnitas. Logo, não ocorre a plenitude. Vamos tentar corrigir, acrescentando outra equação:
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
3x + 3y +12z = 18
Ora, a terceira equação é consequência da segunda. Não há, portanto, independência. Tentemos novamente:
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
3x + 3y + 12z = 15
Também não serve, pois a terceira equação, dividida por 3resulta em x + y + 4z = 5 e a segunda diz que x + y + 4z = 6. Portanto, não há compatibilidade. Finalmente temos,
2x – y – 2z = 3
X + y + 4z = 6
2x + y + 5z = 8
Fornece os seguintes valores: x = 5, y = 13 e z = - 3. O sistema é compatível, independente e completo.
2x – y – 2z = 3
10 – 13 + 6 = 3
- 3 + 6 = 3
3 = 3

X + y + 4z = 6
5 + 13 – 12 = 6
18 – 12 = 6
6 = 6

2x + y + 5z = 8
10+ 13 – 15 = 8
23 – 15 = 8
8 = 8

1. EUCLIDES E SUA GEOMETRIA

Euclides (c. 330 a. C. - 260 a. C.) nasceu na Síria e estudou em Atenas. Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides, é provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas. Ele foi professor do Museu em Alexandria.
Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos desdeóptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas; porém, mais da metade do que ele escreveu se perdeu. Entre as obras que sobreviveram até hoje temos: Os elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica.
Os Elementos são depois da Bíblia provavelmente, o livro mais reproduzido e estudado na história do mundo ocidental. Foi o texto mais influente de todos ostempos, tão marcante que os sucessores de Euclides o chamavam de "elementador". Esta obra é considerada um dos maiores best-sellers de sempre. Obra admirada pelos matemáticos e filósofos de todos os países e de todos os tempos pela pureza do estilo geométrico e pela concisão luminosa da forma, modelo lógico para todas as ciências físicas pelo rigor das demonstrações e pela maneira como são postasas bases da geometria.
São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo (410 - 485), Herão (c. 10 - 75) e Simplício (490 - 560); na Idade-Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram-se dela numerosas edições em todas as línguas européias. A primeira destasedições foi a de Campano (1220 - 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 - 1578), que a citou numerosas vezes nas suas obras.

2. OS ELEMENTOS

Embora os Elementos tenham algumas deficiências lógicas, pelos padrões atuais, tais deficiências passaram despercebidas durante mais de dois milênios. O movimento crítico iniciou-se talvez nos finais do século XVII, com...
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