Ressonador de helmholtz

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  • Publicado : 9 de janeiro de 2013
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1 – Objetivo
O objetivo desta atividade é construir um Ressonador de Helmholtz para uma determinada frequência proposta pelo professor.
2 – Introdução Teórica
Figura [ 1 ] - Modelo de um Ressonador de Helmholtz
Figura [ 1 ] - Modelo de um Ressonador de Helmholtz
O ressonador é composto por um volume V, esférico no caso mostrado na figura, e um gargalo de seção reta S e comprimento l. Aprimeira idealização a ser feita é a de que podemos descrever o estado do sistema simplesmente pela posição e velocidade do ar no gargalo e o restante do volume por uma pressão que varia uniformemente no volume. Essa aproximação só é aceitável se o comprimento de onda da freqüência de ressonância for grande em comparação com as dimensões do ressonador.
O ar contido em V está a uma pressão pint e oar exterior na boca do gargalo está a uma pressão pext. Se a diferença de pressão não for muito grande, poderemos considerar o ar no gargalo como basicamente à uma mesma pressão intermediária, com volume Sl e massa m = Sl ondeé a densidade à pressão atmosférica. O ar no gargaloestá sujeito a uma força devido à diferença entre as pressões interna e externa, além das forças dissipativas.
Aposição do centro de massa do ar no gargalo é x, medida a partir do centro do gargalo. A equação do movimento do ar no gargalo é obtida a partir da segunda lei de Newton:
Fr=pint-pext*S-Fdissipação=ma (1)
A pressão externa é a pressão atmosférica patm mais a pressão sonora p(t), que representa a variação da pressão em torno da média produzida pela fonte sonorapext=patm+pt (2)
A pressão interna varia devido ao deslocamento do elemento de volume do gargalo, que comprime ou rarefaz o ar no volume conforme seu movimento.
pint=patm+∆p (2)
A variação do volume interno quando o centro de massa do ar no gargalo está na posição x é ΔV = Sx. Essavariação do volume interno provoca uma variação de pressão que para ΔV pequeno é dada por:
∆p=-B∆VV=-BS*xV (3)
onde B é módulo da compressibilidade adiabática,
B=-v∂p∂V*S (4)
O valor da compressibilidade pode ser escrito de forma mais conveniente, usando-se sua relação com avelocidade do som e a densidade, como:
B=ρc2 (5)
onde c é a velocidade do som.
Vamos escrever a força dissipativa por enquanto simplesmente como uma força viscosa
Fdissipação=-βV (6)
O coeficiente de atrito viscoso não é tão simples de determinar como o de uma partículaesférica, e a dissipação inclui um termo muito importante de dissipação de energia do oscilador por radiação sonora, que será discutido mais adiante.
A partir do considerado, a 2ª lei de Newton dá a aceleração do centro de massa do ar no gargalo, em aproximação linear em x e v:
F=-ρc2SxV-p(t)*S-βV=ρSla (7)
da qual obtemos a equação diferencial do movimento de um osciladorharmônico amortecido forçado:
ma+βV+kx=-Spt (8)

onde a massa é m = Sl,  é a constante de atrito e a constante de mola é .
2.1 – Ressonância
A função que rege o movimento do som dentro do ressonador é a seguinte:
Xω=pωMω02-ω22+ω2τ2 (9)
Onde, M é a inertância e .
Esta equação exibe o que se chama“pico de ressonância”: quando ω é igual a um valor próximo à frequência natural do sistema (ω0), a amplitude da oscilação é máxima. A amplitude máxima ocorre para o valor da frequência angular:
ω=ω01-12Q2 (10)
Figura [ 2 ] - Amplitude da oscilação A de um oscilador harmônico em função da freqüência da força externa ω.
Figura [ 2 ] -...
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