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Introdução
No século XIX, iniciou-se o movimento que ficou conhecido por aritmetização da Análise. A ideia de alguns matemáticos desse período era tornar esta ciência um campo matemático autônomo, pois, até então, seus teoremas eram ``provados'' recorrendo-se às evidências ou às intuições geométricas e, portanto, nesse sentido, a análise era dependente da Geometria1.1 1.2.
Nesse processo dearitmetização da Análise, era extremamente importante definir os números reais por meios puramente aritméticos. Além disso, era necessário, a partir dessa definição, provar as propriedades pertencentes a estes números sem recorrer à Geometria1.3.
No livro Continuity and Irrational Numbers (Dedekind1963), Dedekind assume os números racionais e suas propriedades como já conhecidas e, a partir daí,ele mostra como definir - ou criar, sua palavra preferida - os números irracionais. Não é nosso objetivo entrar aqui nos detalhes do procedimento de Dedekind1.4, o que queremos enfatizar é que a aritmetização sugerida por ele neste livro só poderia ser bem-sucedida, se os números racionais pudessem ser definidos e suas propriedades pudessem ser derivadas por meios puramente aritméticos.
Emoutras palavras, se a definição dos números racionais e as provas de suas propriedades dependessem da intuição geométrica, o processo de aritmetização da análise estaria fadado ao fracasso. De alguma forma, a Análise dependeria da Geometria e não seria uma ciência autônoma.
Portanto, era também necessário definir os números racionais e provar suas propriedades por meios puramente aritméticos. Hámuitos meios de se proceder. Landau, por exemplo, no seu livro Foundations of Analysis (Landau1966), assume os axiomas de Dedekind-Peano e prova uma série de fatos sobre os números naturais1.5. Depois, ele define uma fração como um par de números naturais:

onde e são números naturais1.6.
Então, Landau define quando duas frações são equivalentes:

É importante mencionar que ' ' é uma espéciede relação de equivalência1.7:
(Reflexividade): se e somente se . Obviamente, .
(Simetria): Assuma que , ou seja, . Pela lei de identidade, temos . Por meio da definição, isto é: .
(Transitividade): Para provar a transitividade, temos de assumir que e , ou seja, (1) e (2) . Na aritmética dos números naturais, temos o seguinte teorema: se e , então . Assim, . A partir de aplicações das leiscomutativas e associativas da multiplicação, obtemos . E disto, chegamos a , ou seja, .
A partir das definições acima e das propriedades dos números naturais, Landau define ordenação1.8, adição, multiplicação1.9 e diferença1.10 em relação às frações.
Por exemplo, a adição entre duas frações e é definida por:
1.11
A lei comutativa da adição entre frações, isto é,

depende apenas daspropriedades comutativas da soma e da multiplicação entre números naturais. Assuma que
.
Pela definição da adição entre frações, temos

Pela lei comutativa da adição dos números naturais, isso é equivalente a
.
E pela comutatividade da multiplicação dos números naturais, a fórmula acima é equivalente a
.
Mas, novamente, pela definição da adição entre frações, essa fórmula é equivalente a.
Em seguida, Landau define um número racional (positivo) como o conjunto de todas as frações equivalentes a alguma dada fração. Dados os números racionais (positivos), ele define a ordenação, adição e multiplicação entre eles1.12. A adição e multiplicação dos números racionais são comutativas e associativas.
Landau prova o seguinte teorema: se um número racional for maior que um númeroracional , então existirá um único número tal que . Este teorema é provado, usando-se o teorema análogo em relação às frações mencionado na nota 8. Com este teorema a sua disposição, Landau define, então, a diferença entre dois números racionais, que é justamente este número racional , obtendo, desse modo, todos os números racionais.
Os números inteiros são definidos por Landau como a classe de...
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