Responsabilidade social e meio ambiente

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MATÉRIA: ÁLGEBRA LINEAR

EXERCÍCIOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Verificar se T é Linear nos seguintes casos:
a) T: R2 →R3 , T (x, y) = (3x, -2y, x + y)
I. T( u + v) = T(u) + T(v)
Sejampara u= (x1, y1)
v= (x2, y2)
Então;
T(u + v) = (x1, y1 + x2, y2) = ( x1 + x2, y1 + y2)
T(u + v) = T( x1 + x2, y1 + y2) = 3( x1 + x2), -2(y1 + y2), ( x1 + x2 + y1 + y2)
T(u +v) = (3x1 + 3x2, -2y1 – 2y2, x1 + x2 + y1 + y2)
T(u + v) = (3x1, -2y1, x1 + y1) + ( 3x2, -2y2, x2 + y2)
T(u + v) = T(u) + T(v)

Logo T é linear.

II. T(α u) = α T (u)
C (x1, y1) = (α x1, αy1)
T(α u) = T(α x1, α y1) = (3α x1, -2α y1, α x1 + α y1) = α (3x1, -2 y1, x1 + y1)
T(α u) = α T (u)

b) T: R →R , T (x) = x/2
T( u + v) = T(u) + T(v)
Sejam para u = x
v= y

Então;
T(u + v) = ( x + y )
T(u + v) = T ( x + y ) = ½ ( x + y)
T(u + v) = (x/2 + y/2)
T( u + v) = T(u) + T(v)

Logo T é linear

T(α u) = α T (u)
α u = α (x) = (α x)
T(α u) = T (αx + α y) = α (x + y)
T(α u) = α T (u)
Logo T é linear

c) T: R→ R, t(x) = 3 x + 1/2
I- T(u + v) = T (u) + T (v) T (u) = T (x) = 3x + 1/2
Sejam = u= x e v = y T (v) = T (y) 3y + 1/2

(u + v) = (x+y) = T (x+y)
T (u +v) = 3 (x+y) + 1/2
T (u +v) = (3x+ 3y) + 1/2 = (3x+1/2) = (3x+1/2) + 3y
T (u+v) ≠ T (u) =(3x+1/2) +(3y+1/2)
Logo T não é linear
II- Tα (u) = α T (u)
α(u) = α(x) = (αx)
T(α u) = T (αx) = (3αx+1/2) = α (3x+1/2)

d) T: R3 → R3 , T (x,y,z)=(-z,-y,-x)
I- T(u+v) = T (u) + T (v)
Sejam
U = x1, y1,z1
V =x2, y2 ,z2
(u+v) = (x1, y1, z1 + x2 , y2 , z2) = T (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
T(u+v) = (x1+x2 , y1 + y2 , z1+ z2) = - (x1 + x2) – (y1 + y2) – (z1 + z2)
T(u+v) = (-x1-x2 , -y1-y2 , -z1-z2) = (-x1-y1-z1) + (-x2-y2-z2)
T (u+v) = T (u) + T(v)
Logo T é linear

II- T (α u) = α T (v)...
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