Resoluções geometria plana

Questão 1

Calcular as seguintes integrais de linha
(a) Cxyds, onde C é o quadrado x+y=1
» Gráfico

I1=01x1-x2dx=01x-x²dx=2x22-x3301=212-13=26
I2=-11x1+x2dx=01x+x²dx=2x22+x33-11=212+13-12+13=223
I3=-10x-1-x2dx=01-x-x²dx=2-x22-x33-10=212-13=26
I4=01xx-12dx=01x²-xdx=2-x22+x3301=2-12+13=26
I=I1-I2-I3+I4

(b) Cxds, onde C é o arco Pt=ti+t²j, 0≤t≤1
» Resolução:

A equação Pt=ti+t²j pode ser escrita como x=ty=t²→y=fx=x² ds=1+f'(x)2dx=1+4x²dx
01x1+4x²dx
u=1+4x²→du=8xdx→dx=du8x
01x1+4x²dx=01xu8xdu =01u8du =18∙1+4x²323201=31+4x²322401
=1+4x²321201=1+4.1²3212-112=53-112=52.5-112=55-112

(c) Cxydx-dy, onde C é o arco y=x², 0≤x≤1
» Resolução

y=x²→dy=2xdx
Cxydx-dy=01x∙x²dx-2xdx=01x³dx-2xdx
x44-x²01=14-1=1-44=-34

Questão 2

Use a fórmula de Green para calcular as integrais dadas abaixo.
(a)
γxy²dx-x²ydy
Onde γ é o retângulo delimitado pelas retas x=1, x=3, y=-1, y=3.
» Resolução:

L=xy²→∂L∂y=2xy
M=-x²y→∂M∂x=-2xy
-1313∂M∂y-∂L∂ydxdy=-1313-2xy-2xydxdy=-1313-4xydxdy
A=13-4xydx=-4x2y213=[-2x²y]13=-2.3².y+2.1.y=-18y+2y=-16y
B=-13-16ydy=-16y22-13=-8y2-13=-8.3²+8.-12=-72+8=-64

(b) γydx+xdy Onde γ é o contorno do primeiro quadrante, formado pelas retas x=0, y=1, e a parábola y=x².
» Resolução:

L=y→∂L∂y=12y
M=x→∂M∂x=12x

010y∂M∂y-∂L∂ydxdy=12x-12ydxdy=
A=0y12x-12ydx=x-x2y0y=y-y2y=4y-12
B=014y-12dy=y5454-y201=4y545-y201=4.1545-12=45-12=8-510=310

Questão 5

Use o Teorema da Divergência para calcular SF.ndA, onde a região S e o campo F são dados e n é a normal externa a S.
(a) S é a esfera de centro na origem e raio unitário e F=xi+2yj+3zk.
» Resolução:

L=x→∂L∂x=1
M=2y→∂M∂y=2
N=3z→∂N∂z=3

010101x+4y+9zdxdydz
0π20π2016r²sen(θ)drdθdφ
I1=016r2senθdr=6r3senθ301=2senθ
I2=0π22senθdθ=-2cosθ0π2=-2cosπ2--2cos0=2
I2=0π22dφ=[2φ]0π2=2∙π2=π
Mas esta é a integral para apenas um dos octantes, então teremos:
ITotal=8π

(b) S é a região do primeiro octante determinada pelo plano x+y+z=1 e F=x²yi-xy²j+xzk.
» Resolução: