Relatorio de medição

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Exercícios resolvidos
1. Um paralelepípedo ABCDEFGH de base ABCD tem volume igual a 9 unidades. Sabendo-se que A(1,1,1), B( 2,1,2), C(1,2,2), o vértice E → r pertence à reta r de equação r : x = − y = 2 − z e ( AE, i ) é agudo. Determine as coordenadas do vértice E. Solução:


Como E pertence à reta r, temos E( t ,−t , 2 − t ) e AE = ( t − 1,−1− t , 1 − t ) . Assim, 1 0 1 → → → | [ AB, AC,AE ] | = | 0 1 1 | =|3− t | = 9. t −1 − t −1 1− t Logo t = −6 ou t = 12 . → → r → r Se t = −6, então AE = ( −7, 5,7) e AE ⋅ i = −7. Logo ( AE, i ) é obtuso. Como este valor de t contradiz uma das hipóteses do nosso exercício, → → r consideremos t = 12. Neste caso, AE = (11,−13,−11) e AE ⋅ i = 11 → r → assim, ( AE, i ) é agudo. Portanto E = A + AE = (12,−12,−10). 2. Um quadrado ABCD está sobre oplano α : x − y + 2z −1 = 0 . Sabendose que A(1,0,0) e B(0,1,1) são vértices consecutivos. Determine as coordenadas dos outros dois vértices. Solução:
r nα


C D

B A α

De A(1,0,0) e B(0,1,1) temos AB = ( −1,1,1) e r de α : x − y + 2z = 1 temos n α = (1, −1,2) . r Como AD ⊥ AB e AD ⊥ n α temos:
→ → r AD // AB× n α = (3,3,0) . → → →

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Além disso, | AD | = | AB | = 3 . ConsiderandoAD ° = ( temos:







→  6 → 2+ 6 6  6   AD =  , ,0, D = A + AD =   2 2   2 , 2 ,0  e     →  6 6+2   C = B + AD =   2 , 2 ,1 .   → 1 1 Podemos observar que considerando AD ° = ( − ,− ,0) 2 2 encontraremos a outra solução do exercício.

1 1 , ,0) 2 2

3. Determine uma equação do plano π que passa pelo ponto P(1,0,1) e x − y + z + 1 = 0 contém a reta deequação r :  . 2x + y − z + 2 = 0  π r Solução: r Sejam R ( −1,0,0) um ponto da reta r e o vetor r v r = (1,1,0) //(0 ,3,3) = (1,−1,1) × ( 2,1,−1) . Como
vr

R

P

→ r o ponto P(1,0,1) não pertence à reta r, temos RP = ( 2,0,1) e v r são vetores LI com representantes em π. Assim, uma equação vetorial do plano π é: π : ( x, y, z) = (1,0,1) + t (2,0,1) + h (0,1,1) ; t, h ∈ IR

4. Determine umacondição necessária e suficiente para que um plano α : Ax + By + Cz + D = 0 seja ortogonal ao plano XOZ. Solução: Observemos que os vetores j = (0,1,0 ) e (A,B,C) são normais aos planos XOZ e α, respectivamente. Assim, os planos α e XOZ são ortogonais se, somente se, ( A, B, C) ⋅ ( 0,1,0) = 0 . Daí, B = 0. Observação: De modo análogo, podemos mostrar que as condições necessárias e suficientes paraque um plano α : Ax + By + Cz + D = 0 seja ortogonal ao plano XOY e ao plano YOZ são, respectivamente C = 0 e A = 0.
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r

5. Determine uma equação geral de um plano que contém a reta z+3 x +1 s: = y − 1= e é ortogonal ao plano YOZ. 3  2 Solução: z+3 contém a reta s, já que todos 3 os pontos de s satisfazem à equação de α. Além disso, α : 3y − z − 6 = 0 é ortogonal a plano YOZ ( porque?). Assim, α é o plano procurado. Observemos que o plano α : y − 1 = 6. Mostre que um plano α : Ax + By + Cz + D = 0 é paralelo ao eixo OY se, e somente se, é ortogonal ao plano XOZ. Solução:
r vr

r

α

Sabemos que um plano α é paralelo a uma reta r r r se, e somente se, n α ⋅ v r = 0 . Assim, o plano α é paralelo ao eixo OY se, e somente se 0 = ( A, B, C) ⋅ ( 0,1,0) = B . Portanto acondição α paralelo ao eixo OY é equivalente a α ortogonal ao plano XOZ.

7. Dados os planos α : Ax + 4y + 4z + D = 0 e β : 6x + 8y + Cz − 2 = 0 , determine as constantes A, C e D tais que: a) d (α , β) = 41 b) O plano α seja ortogonal ao plano β e contém o eixo OX. Solução: a) Como d(α, β) ≠ 0 temos que α ∩ β = φ . Assim, os vetores r r n α = (A,4,4) e n β = (6,8, C) são paralelos e portanto A = 3 e C =8. Tomemos P(1,−1,0) um ponto do plano β. Sabemos que: d(α, β) = d( P, α) = | 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( −1) + 4 ⋅ 0 + D | = 41 . 9 + 16 + 16

Assim, | D − 1| = 41 , logo D = 42 ou D = −40 .

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b) Como o plano α contém o eixo OX temos A = 0 e D = 0. Da ortogonalidade dos planos α e β temos: r r n α ⋅ nβ = (0,4,4) ⋅ (6,8, C) = 32 + 4C = 0 . Logo C = −8. 8. Determine as coordenadas do ponto P1,...
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