Relatorio de campo magnetico em condutores

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1Q1: Em um espa¸o vetorial E com produto interno, suponha c que S ´ um subespa¸o de E de dimens˜o finita n. Considere as e c a seguintes afirma¸˜es: co (I) Se B = {e1 , . . . , en } ´ uma base de S, ent˜o e a
n

projS v =
i=1

projei v, (v ∈ E).

(II) Sempre existe projS v, para todo v ∈ E. (III) u ∈ S ´ solu¸˜o para o problema da melhor aproxima¸˜o se e ca ca e somente se u ∈ S ´ solu¸˜opara o problema da proje¸˜o e ca ca ortogonal. Podemos afirmar que: a) S´ (III) ´ verdadeira. o e b) S´ (I) ´ verdadeira. o e c) (I) e (III) s˜o verdadeiras e (II) ´ falsa. a e d) As trˆs s˜o verdadeiras. e a e) (II) e (III) s˜o verdadeiras e (I) ´ falsa. a e

1Q2: Em um espa¸o vetorial E com produto interno , , considc eremos um subespa¸o S de E e um vetor u ∈ E. Sabendo que c u = 3v + 5w, com w∈ S e v ∈ S ⊥ , podemos afirmar que o vetor de S, mais pr´ximo de u ´: o e a) projv u b) 5w c) projw u d) −5w e) w

1Q3: Sejam S e T subespa¸os de dimens˜o finita de um espa¸o c a c vetorial E. Considere as afirma¸˜es: co (I) Se S ∩ T = {0}, ent˜o S ∪ T = S + T ; a (II) Se S ∩ T = {0}, ent˜o dim(S + T ) = dimS + dimT ; a (III) dim(S + T ) ≥ dimS − dim(S ∩ T ); Podemos afirmar que: a) Somente aafirma¸˜o (I) ´ falsa. ca e b) Somente as afirma¸˜es (I) e (II) s˜o verdadeiras. co a c) Somente a afirma¸˜o (III) ´ verdadeira. ca e d) Todas as afirma¸˜es s˜o verdadeiras. co a e) Somente as afirma¸˜es (II) e (III) s˜o verdadeiras. co a

1Q4: Sejam E um espa¸o vetorial de dimens˜o finita com produto c a interno e S ⊂ E um subespa¸o de E. c Seja T : E → E a transforma¸˜o definida por T (u) = projS u, ca ∀u ∈ E.Considere as afirma¸˜es: co (I) ker(T ) = S ⊥ e Im(T ) = S; (II) Se {v1 , . . . , vk } ´ uma base de S e u ∈ E, ent˜o e a T (u) = u, v1 u, vk v + ··· + vk ; 2 1 ||v1 || ||vk ||2

(III) T (u) = u se e somente se u ∈ S; Podemos afirmar que: a) Apenas as afirma¸˜es (I) e (III) s˜o falsas. co a b) Todas as afirma¸˜es s˜o verdadeiras. co a c) Apenas as afirma¸˜es (II) e (III) s˜o falsas. co a d) Apenas aafirma¸ao (II) ´ falsa. c e e) Apenas as afirma¸˜es (I) e (II) s˜o falsas. co a

1Q5: Sejam um operador x, y ∈ R2 . a b A= b a (I) ab = 0;

R2 com o produto interno usual e T : R2 → R2 linear tal que T (x), T (y) = x, y , para todo Supondo T (1, 0) = (a, b), T (0, 1) = (b, a) e , consideremos as seguintes afirma¸˜es: co

(II) a2 + b2 = 1; (III) a ≥ 0 e b ≥ 0. Podemos afirmar que: a) Apenas (I)e (II) s˜o verdadeiras. a b) Apenas (I) ´ verdadeira. e c) Todas s˜o verdadeiras. a d) Apenas (I) e (III) s˜o verdadeiras. a e) Apenas (II) e (III) s˜o verdadeiras. a 1Q6: Sejam E = [sen x, cos x, ex ] e T : E → E o operador linear dado por T (f ) = f . Se B = {sen x, cos x, ex }, ent˜o [T ]B ´ dada a e por:   0 −1 1 0 0 . a)  1 0 0 1   0 −1 0 0 0 . b)  1 0 1 1   1 −1 0 0 0 . c)  1 00 1   0 −1 0 0 0 . d)  1 1 0 1   0 −1 0 0 0 . e)  1 0 0 1

1Q7: Seja T : P3 (R) → R2 a transforma¸˜o linear definida por ca T (p(t)) = (p(1), p(0) − p(1)), ∀p(t) ∈ P3 (R). A alternativa falsa ´: e a) dim Im(T ) = dim ker(T ). b) {T (t), T (t2 − 1)} ´ uma base de Im(T ). e 3 − t2 } ´ uma base de ker(T ). c) {t(t − 1), t e d) T ´ linear. e e) {t − 1, t2 − t, t3 − 2t2 + t} ´ uma base deker(T ). e 1Q8: Em C([−π, π]), com o produto interno definido por π o f, g = −π f (t)g(t)dt, o polinˆmio de grau menor ou igual a 2 mais pr´ximo de h(t) = cos t tem ra´ o ızes: a) complexas n˜o reais. a π2 b) cujo produto ´ e . 3 c) cuja soma ´ zero. e d) inteiras. 2π e) cuja a soma ´ √ . e 3 1Q9: Considere R4 com o produto interno usual e S ⊂ R4 o subespa¸o dado por c S = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x − z =0, y − z + w = 0}. Se u = (0, 0, 3, 4) e projS u = (a, b, c, d), ent˜o (a − b + c − d) vale: a a) -2 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1

1Q10: Sejam E um espa¸o vetorial de dimens˜o finita com proc a duto interno, A = {u1 , . . . , uk } um subconjunto de E e S = [u1 , . . . , uk ]. Suponhamos verdadeira a seguinte afirma¸˜o: ca Para todo v ∈ E, se v, ui = 0, para todo i = 1, 2, . . . , k, ent˜o a v =...
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