Relação de escala

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  • Publicado: 29 de abril de 2012
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RELAÇÃO DE ESCALA ENTRE O DIÂMETRO E O VOLUME DA LARANJA
1. Sumário
Neste trabalho iremos tratar da relação de escala entre o diâmetro (d) e o volume (V) da laranja. Para medir o diâmetro utilizamos a craveira e para o volume utilizamos uma aproximação de que as laranjas são esféricas, ou seja, utilizamos a fórmula V=43πr3, em que o r é metade do diâmetro medido. A relação de escala queobtemos foi alometria visto que α = 0,406 que é ≠ 1.
2. Introdução
Perante a proposta da realização do relatório, decidimos investigar um fruto. Optamos por laranjas por existir um acesso relativamente fácil a vários exemplares, por estarmos à vontade para realizar as medições e também por ser um organismo vulgar, do dia-a-dia, que, no geral, toda a gente conhece e já teve a oportunidade de provar oseu sabor.
Sendo assim, medimos o diâmetro de 83 laranjas com o volume das mesmas, com a finalidade de comprovar que a relação de escala é alometria.
3. Registo e análise de dados

3.1. No caso das laranjas medidas, estas são de origem portuguesa e, biologicamente, a sua origem é proveniente de uma árvore pertencente ao género Citrus, e da família Rutaceae.

3.2. O método utilizado foi,por medição directa, através da craveira. Também utilizamos o método dos mínimos quadrados (no Excel) para linearizar a recta de ajuste.

3.3. Nesta relação iremos trabalhar a grandeza V em função de d. Obtivemos valores dentro dos 6,60 e 8,20cm para o d, enquanto que para V obtivemos valores entre 153,3 e 285,5cm, como se pode observar na tabela.
diâmetro/cm | volume/cm3 | diâmetro/cm |volume/cm3 | diâmetro/cm | volume/cm3 |
6,64 | 153,29 | 7,23 | 197,89 | 7,57 | 227,14 |
6,67 | 155,37 | 7,23 | 197,89 | 7,58 | 228,04 |
6,68 | 156,07 | 7,25 | 199,53 | 7,59 | 228,94 |
6,70 | 157,48 | 7,26 | 200,36 | 7,60 | 229,85 |
6,75 | 161,03 | 7,26 | 200,36 | 7,65 | 234,41 |
6,83 | 166,82 | 7,27 | 201,19 | 7,65 | 234,41 |
6,85 | 168,29 | 7,27 | 201,19 | 7,67 | 236,26 |
6,86 |169,03 | 7,27 | 201,19 | 7,67 | 236,26 |
6,87 | 169,77 | 7,30 | 203,69 | 7,67 | 236,26 |
6,95 | 175,77 | 7,34 | 207,06 | 7,68 | 237,18 |
6,97 | 177,30 | 7,35 | 207,90 | 7,68 | 237,18 |
6,99 | 178,83 | 7,35 | 207,90 | 7,71 | 239,97 |
7,01 | 180,37 | 7,37 | 209,60 | 7,77 | 245,62 |
7,05 | 183,47 | 7,40 | 212,17 | 7,78 | 246,57 |
7,05 | 183,47 | 7,40 | 212,17 | 7,82 | 250,39 |
7,07 |185,04 | 7,42 | 213,90 | 7,87 | 255,22 |
7,10 | 187,40 | 7,42 | 213,90 | 7,92 | 260,12 |
7,13 | 189,79 | 7,45 | 216,50 | 7,92 | 260,12 |
7,14 | 190,59 | 7,46 | 217,38 | 7,93 | 261,11 |
7,14 | 190,59 | 7,47 | 218,25 | 7,94 | 262,10 |
7,14 | 190,59 | 7,48 | 219,13 | 7,97 | 265,08 |
7,14 | 190,59 | 7,50 | 220,89 | 7,99 | 267,08 |
7,15 | 191,39 | 7,50 | 220,89 | 8,01 | 269,09 |
7,17 |193,00 | 7,50 | 220,89 | 8,05 | 273,14 |
7,17 | 193,00 | 7,51 | 221,78 | 8,05 | 273,14 |
7,18 | 193,81 | 7,53 | 223,55 | 8,10 | 278,26 |
7,19 | 194,62 | 7,53 | 223,55 | 8,17 | 285,54 |
7,20 | 195,43 | 7,56 | 226,24 | |
Fig.1 - Tabela de dados
Quando passamos os valores para Excel e desenhamos o gráfico Vd, obtivemos um crescimento quase exponencial e decidimos aplicar o logaritmoneperiano (ln) ao V e ai utilizar o método dos mínimos quadrados. Obtivemos a matriz,
m | 0,406 | 2,35 | b |
m | 0,001 | 0,01 | b |
r2 | 0,9991 | 0,004 | y |
Fig.2 – Matriz de ajuste
onde obtivemos os valores para substituir na expressão y=mx+b, onde m = 0,496 e b = 2,35, o que resulta y=0,406x+2,35. Daí desenhamos um novo gráfico de lnVd e calculamos os valores da recta de ajuste eacrescentamos ao mesmo gráfico. De seguida aplicamos a função exponencial aos valores da recta de ajuste para obtermos novamente “valores de V” e aí adicionarmos esses novos dados ao gráfico inicial, obtendo a recta de ajuste pretendida. Dai sabe-se que a expressão vai ser V=kdα, em que α=m =0,406 e k=eb=10,46, sendo a expressão V=10,46d0,406. Era de esperar que a relação fosse alometrica visto que ao...
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