Regressao linear

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Análise de Regressão
Notas de Aula

Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Estatística Aplicada

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Modelos de Regressão
Modelos de regressão são modelos matemáticos que relacionam o comportamento de uma variável Y com outra X. Quando a função f que relaciona duas variáveis é do tipo f (X) = a + b X temos o modelo de regressão simples. A variável X é a variávelindependente da equação enquanto Y = f (X) é a variável dependente das variações de X. O modelo de regressão é chamado de simples quando envolve uma relação causal entre duas variáveis. O modelo de regressão é multivado quando envolve uma relação causal com mais de duas variáveis. Isto é, quando o comportamento de Y é explicado por mais de uma variável independe X1, X2, ....Xn. Os modelos acima (simples oumultivariados) simulam relacionamentos entre as variáveis. Esse relacionamento poderá ser do tipo linear (equação da reta ou do plano) ou não linear (equação exponencial, geométrica, etc.). A análise de regressão compreende, portanto quatro tipos básicos de modelos; - linear simples; - linear multivariado; - não linear simples; - não linear multivariado. Para que serve determinar a relação entreduas variáveis? 1 - Para realizar previsões sobre o comportamento futuro de algum fenômeno da realidade. Neste caso extrapola-se para o futuro as relações de causa-efeito – já observadas no passado – entre as variáveis. Pode-se, por exemplo, prever a população futura de uma cidade simulando a tendência de crescimento da população no passado. 2 - Pesquisadores interessados em simular os efeitossobre uma variável Y em decorrência de alterações introduzidas nos valores de uma variável X também usam este modelo. Por exemplo: de que modo a produtividade (Y) de uma área agrícola é alterada quando se aplica certa quantidade (X) de fertilizante sobre a terra. No exemplo acima o pesquisador seleciona “n” pedaços de terra x1, x2, x3,....xn, aos quais são aplicadas quantidades definidas defertilizante. Em seguida, medem-se as quantidades colhidas em cada pedaço de terra y1, y2, y3, ....yn, obtendo assim pares de valores (x1,y1) (x2,y2), ......(xn, yn) que podem ser plotados em um gráfico cartesiano chamado de diagrama de dispersão. Diagrama de Dispersão Ao se plotar num gráfico cartesiano os pares de informação referente a cada observação obtemos uma “nuvem” de pontos definidos pelascoordenadas x e y de cada ponto. Essa nuvem, por sua vez, definirá um eixo ou direção que caracterizará o padrão de relacionamento entre X e Y. A regressão será linear se observada uma tendência ou eixo linear na nuvem de pontos cartesianos. A relação entre as variáveis será direta (ou positiva) quando os valores de Y aumentarem em decorrência da elevação dos valores de X . Será inversa (ou negativa)quando os valores de Y variarem inversamente em relação aos de X. A figura 1 mostra o diagrama de dispersão referente as variáveis X e Y. O diagrama mostra uma relação direta entre as variáveis, ou seja: o crescimento de Y está diretamente ligado ao crescimento de X.

Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Estatística Aplicada

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Figura 1
x y ____________ 30 430 21 335 35520 42 490 37 470 20 210 8 195 17 270 35 400 25 480

Modelos de Regressão Linear
Regressão é o processo matemático pelo qual derivamos os parâmetros “a” e “b” de uma função f (X). Estes parâmetros determinam as características da função que relaciona ‘Y’ com ‘X’que no caso do modelo linear se representa por uma reta chamada de reta de regressão. Esta reta explica de forma geral e teoricamente arelação entre X e Y. Isto significa que os valores observados de X e Y nem sempre serão iguais aos valores de X’e Y’ estimados pela reta de regressão. Haverá sempre alguma diferença, e essa diferença significa; (1) que as variações de Y não são perfeitamente explicadas pelas variações de X ou; (2) que existem outras variáveis das quais Y depende ou; (3) que os valores de X e Y são obtidos de uma...
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