Regras de derivação

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▪ Regras de derivação
▪ Regra da cadeia
▪ Projeto para um trabalho
▪ Derivadas de ordem superior
▪ Derivadas de funções implícitas
▪ Regra de L'Hôpital
▪ Fórmula de Taylor
▪ Derivadas (Primeira parte)
Regras de Derivação
Nem sempre devemos calcular as derivadasdiretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
Regras gerais para derivadas de funções
1. Multiplicação porescalar
(kf) '(x) = k f '(x)
2. Soma de funções
(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)
3. Diferença de funções
(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)
4. Produto de funções
(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)
5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então
|(f/g)'(x) = |g(x).f '(x) - f(x).g'(x) |
||[pic] |
| |g²(x) |


6. Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
Exercício: Determinar as regras de derivação para as funções:
a. w(x)=f(x)+g(x)+h(x)
b. w(x)=f1(x) +...+ fn(x)
c. w(x)=f(x) × g(x) × h(x)
d. w(x)=f1(x) ×...× fn(x)
e. w(x)=f(x) × g(x) ÷ h(x)


Regrada cadeia
As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duasfunções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.
Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então afunção composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:
h '(x) = f '(g(x)) g '(x)
Uma notação muito utilizada é:
[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)
Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:
Dxy = Duy Dxu, yx = yu ux, [pic]
Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra dacadeia:
f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)
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f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99
Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:
g '(y) = 1/f '(x)
Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois seg é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:
1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)
Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:
g '(y) = 1/(2x+3)
Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um númeroreal, então
f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)
Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)
Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:
f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))]...
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