Regra de Cramer

Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.
Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
c) impossível, se D=0 e Dxi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:

Como D=0 e Dx0, o sistema é impossível e não apresenta solução. Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas: e verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
Por exemplo: e
S1 ~S2 b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2 c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Por exemplo: Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os