Regra da cadeia

Aula 03
Regra da Cadeia
A regra da cadeia é aplicada na derivação da função composta.
Seja a função y = x³, sendo que u = x² + 1. Então y = (x² + 1)³ ou y = x 6 + 3x 4 + 3x² + 1 onde y’= 6x 5 + 12x³ + 6x. Por outro lado, sabe-se que y’=

dy dy du dy du e que y’= ou que y’=
. Assim se y = x³ e u = x² + 1, vem que dx dx du du dx

dy du = 3u² e
= 2x. Substituindo-se na expressão acima temos: du dx y ’= 3u². 2x = 3(x² + 1).2x = 6x(x 4 +2x² +1) ⇒ y’= 6x 5 + 12x³ + 6x
•

A partir da regra da cadeia, as regras de derivação passam a ser:
1. y = u m ⇒ y ’ = m. u

2. y = a

u

m −1

. u’

⇒ y ’ = a u . ln a . u’

3. y = ln u ⇒ y ’ =

u, u Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f(x) = ( x 2 - 1 ) 3
Solução: Regra y = u m ⇒ y ’ = m.u m −1 . u’ , onde u = x² - 1
Aplicando a regra, temos: f ’(x) = 3(x² - 1) 3−1 .(x² - 1) ’ = 3(x² - 1) 2 . 2x f ’(x) = 6x (x² - 1) 2

Questão 2. f(x) = ln (x³ - 5x² + 4) u, Solução: Regra y = ln u ⇒ y ’ =
, onde u = x³ - 5x² + 4 u ( x 3 − 5 x 2 + 4),
Então: f ’(x) = x3 − 5 x 2 + 4
3 x 2 − 10 x f ’(x) = 3 x − 5x2 + 4

2 x 2 + 5 x − 1 = (2x 2 +5 x − 1 )

Questão 3. f(x) =

Solução: Regra y = u

f ’(x) =

m

⇒ y ’= m . u

1
(2x² +5x – 1)
2

1 f ’(x) =
(2x² + 5x – 1)
2

Questão 4. f(x) = 2

2

−3

Questão 5. f(x) =

1
2

. (2x² +5x – 1) ’

4x + 5

.(4x + 5 ) ∴ f ’(x) =

u

2 2 x2 + 5x − 1

⇒ y ’ = a u . ln a . u ’

. ln 2 . (x² - 3) ’ ∴ f ’(x) = 2

x 2 −3

. ln 2 . (2x)

u = x 2 − 4 → u , = 2 x x2 − 4
⇒ 
2
, x2 + 4
v = x + 4 → v = 2 x

Solução: Regra y = f ’(x) =

−

.u’

x 2 −3

Solução: Regra y = a

f ’(x) = 2 x

1
−1
2

m −1

1
2

u , .v − u.v , u ⇒ y ’= v2 v

2 x( x 2 + 4) − ( x 2 − 4)2 x
16 x
∴ f ’(x) =
2
2
2
( x + 4)
( x + 4) 2

x

Questão 6. f(x) = e

Solução: Regra y = a

⇒ y ’= a u . ln a . u ’

u

f ’(x) = e x . ln e . x ’ ∴ f ’(x) = e

•

A função f(x) = e

•

Se f(x) = e