Redereciproca

Rede recíproca

Cap 2 KITTEL
Cap 5 ASHCROFT- MERMIN
Cap 4 IVAN

Algumas definições
Definição rede recíproca
Planos de Bragg
Zonas de Brillouin
Planos de rede; índices de Miller

Rede recíproca

difração em cristais cálculo de estruturas de bandas de energia leis de conservação de momentum
Funções com periodicidade da rede etc... Definição r Considere um conjunto de pontos R

constituindo

uma rede de Bravais.

r
O conjunto de todos os vetores de onda K que dão origem à ondas planas

e

r r iK .r

com a periodicidade da respectiva rede de Bravais é conhecido como a rede recíproca (da rede de Bravais).

e

(

r r r iK . r + R

) = e

r r iK .r

e

r r iK . R

r
= 1, ∀ R

Rede de Bravais
(rede direta)

Rede recíproca

{

{ ar1 , ar2 , ar3 } r r r a 2 × a3 b1 = 2π r r r a1 .(a 2 × a 3 ) r r r a ×a b2 = 2π r 3r 1r a1 .(a 2 × a 3 ) r r r a1 × a 2 b3 = 2π r r r a1 .(a 2 × a 3 )

r r r b1 , b2 , b3

}

r r r r K = k1 b1 + k 2 b2 + k3 b3

r r bi .a j = 2πδ ij r r r r
R = n1 a1 + n 2 a 2 + n3 a 3

e

r r iK . R

=1

,∀R

onde

0 i ≠ j
1 i = j

δ ij = 

(delta de Kronecker)

def. rede recíproca

r r r K .R = 2π (k1n1 + k 2 n2 + k3n3 ) = 2π n , ∀R

k1 , k 2 , k3 =

inteiros quaisquer

inteiro

A rede recíproca é uma rede de Bravais!

{

r r r r G = n1b1 + n2b2 + n3b3 r r r b1 , b2 , b3 : vetores primitivos da rede recíproca

}

A rede recíproca da rede recíproca é a rede direta original

r r r b2 × b3
2π r r r = a1 b1.(b2 × b3 ) e r r iG . K ´

, etc...

{ } {}

r r r
= 1, ∀ G ⇒ K ´ = R

Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1

Exemplos
Rede recíproca para a rede cúbica simples (SC)

r r r a1 = axˆ , a2 = ayˆ , a3 = azˆ r r r a2 × a3
2π r 2π r 2π b1 = 2π r r r = xˆ, b2 = yˆ , b3 = zˆ a1.(a2 × a3 ) a a a

SC

Rede recíproca é cúbica simples com parâmetro de rede

v = a3

e V = (2π ) / a 3
3

V = (2π ) / v
3

Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1

2π a Rede recíproca para a rede BCC

r a r a r a a1 = ( yˆ + zˆ − xˆ ), a2 = ( zˆ + xˆ − yˆ ), a3 = ( xˆ + yˆ − zˆ )
2
2
2

Célula cúbica :
BCC