Reciclaagem

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 7 (1622 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 22 de novembro de 2011
Ler documento completo
Amostra do texto
FNC376N: PROVA 1
15/04/2004

PROVA 1
1. Considere uma part´ ıcula de massa µ confinada a uma regi˜o bidimensional na forma a de um quadrado de lado a. A energia potencial ´ dada por: e V (x, y) = 0, para 0 < x < a e 0 < y < a +∞ de outra forma.

a) A auto-fun¸˜es tˆm a forma co e ψ(x, y) = A sin(kx x) sin(ky y). Determine os valores poss´ ıveis de kx e ky e as auto-energias correspondentes.b) Determine a constante de normaliza¸˜o A. ca c) Liste as auto-energias e as correspondentes degenerescˆncias dos quatro primeiros e n´ ıveis de energia. d) Determine o valor esperado da posi¸˜o da part´ ca ıcula, r = xı + y no estado fundamental. 2. O el´tron de um ´tomo de hidrogˆnio se encontra num estado estacion´rio descrito por e a e a uma fun¸˜o da forma ca 1 ψ(r) = R(r) √ [Y1,1 (θ, φ) +Y1,−1 (θ, φ)] . 2 a) Determine os valores esperados e as correspondentes incertezas i. do quadrado do momento angular, L2 e σL2 , e ii. da componente z do momento angular, Lz e σLz . Lembrete: σA = A2 − A 2 . b) Quais s˜o os valores poss´ a ıveis para o n´mero quˆntico principal n deste estado? u a c) Assumindo que n ´ o menor valor poss´ compat´ com , a fun¸˜o radial tem a e ıvel ıvel ca forma:R(r) = Cr e−r/na0 . Determine o valor m´dio da distˆncia do el´tron ao n´cleo, r , neste caso. Expresse e a e u o seu resultado em fun¸˜o do raio de Bohr a0 . ca 1

´ FORMULARIO
Integrais que podem ser uteis: ´ sin2 (ku)du = 1 [ku − sin(ku) cos(ku)] 2k

1 1 u sin2 (ku)du = u2 − 2 [2ku sin(2ku) + cos(2ku)] 4 8k ∞ n! un e−αu du = n+1 α 0 Equa¸˜o de Schr¨dinger independente do tempo ca o − h2 ¯2µ
2

+ V (r) ψ(r) = Eψ(r)

2

∂ ∂ ∂ + +k ∂x ∂y ∂z 2 2 ∂ ∂ ∂2 = + 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ r2 + sin θ = 2 r ∂r ∂r sin θ ∂θ ∂θ = ı

1 ∂2 sin2 θ ∂φ2

Valores esperados A(r, p) = d3 rψ ∗ (r)A (r, −i¯ ) ψ(r) h r2 drR∗ (r)A(r)R(r)

ψ(r) = R(r)Y (θ, φ) → A(r) = Harmˆnicos esf´ricos o e

L2 Y ,m = ( + 1)¯ 2 Y ,m h Lz Y ,m = m¯ Y ,m h

Elementos de volume d3 r = dxdydz = r2 dr sinθdθdφ

2

SOLUCAO ¸˜
Problema 1
a) Como as auto-fun¸˜es devem se anular nas paredes, devemos ter: co ψ(x = 0, y) = ψ(x = a, y) = ψ(x, y = 0) = ψ(x, y = a) = 0. As condi¸˜es em x = 0 e y = 0 j´ s˜o automaticamente satisfeitas pela forma das fun¸˜es co a a co de onda. Para x = a e y = a, vem sin(kx a) = 0 ⇒ kx a = nx π, e sin(ky a) = 0 ⇒ ky a = ny π, Ou, com nx = 1, 2, 3, . . . e ny = 1, 2, 3, . . .Para obter as auto-energias substitu´ ımos a auto-fun¸˜o na equa¸˜o de Schr¨dinger, que ca ca o em duas dimens˜es fica: o − Como ∂2 h2 ∂ 2 ¯ + 2 + V (x, y) ψ(x, y) = Eψ(x, y). 2µ ∂x2 ∂y ∂ 2 sin ku = −k 2 sin u, ∂u2 h2 2 ¯ h2 π 2 2 ¯ 2 E= nx + n2 . kx + ky = y 2 2µ 2µa π kx = n x , a com ny = π ky = n y , a inteiro n˜o nulo. a com nx = inteiro n˜o nulo, a

b) Em duas dimens˜es, a condi¸˜o denormaliza¸˜o se escreve o ca ca
+∞ +∞

dx
−∞ −∞

dy|ψ(x, y)|2 = 1.

As auto-fun¸˜es tˆm a forma dada no ´ co e ıtem a) dentro da caixa. Fora da caixa, ψ(x, y) = 0. Assim a a |A|2 dx sin2 (kx a) dy sin2 (ky a) = 1.
0 0

As duas integrais s˜o idˆnticas e dadas no formul´rio. Como sin kx a = sin ky a = 0, elas a e a se reduzem a a a du sin2 (ka) = . 2 0 Assim, a2 2 |A|2 = 1 ⇒ |A| = . 4 a

3 c) Para economizar nota¸˜o vamos definir ca E0 = h2 π 2 ¯ 2µa2

Do ´ ıtem a), os n´meros quˆnticos, as auto-energias e as degenerescˆncias dos quatro u a e primeiros n´ ıveis de energia s˜o: a (nx , ny ) E/E0 (1,1) 2 5 (1,2),(2,1) (2,2) 8 10 (1,3),(3,1) g 1 2 1 2

d) A auto-fun¸˜o do estado fundamental, correspondente a nx = ny = 1 ´ ca e ψ1,1 (x, y) = 2 πx πy sin sin . a a a

Acorrespondente densidade de probabilidade, |ψ1,1 (x, y)|2 = 4 πx 2 πy sin2 sin 2 a a a

´, claramente sim´trica em rela¸˜o ao m´ximo que ocorre em x = a/2 e y = a/2. Ase e ca a sim, x = y = a/2. Ou seja, o valor esperado da posi¸˜o da part´ ca ıcula (no estado fundamental ou em qualquer outro auto-estado) ´ o centro da caixa. e Este resultado tamb´m pode ser obtido por for¸a bruta: e c
+∞ +∞

x...
tracking img