Razão e proporçao

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MATEMÁTICA PASSO A PASSO

RAZÃO E PROPORÇÃO

|Ensino Fundamental: Razões e Proporções |
|Razões |Polígonos Semelhantes |
|Proporções |Figuras Semelhantes|
|Propriedade fundamental |Aplicações práticas das razões |
|Razões/Proporções de segmentos | |

Razões
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre doisnúmeros A e B, denotada por:
|A |
|[p|
|ic|
|] |
|B |

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
|12 |= 4 |
|[pi| |
|c] | |
|3 | |

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
|3 |= 0,5 |
|[p| |
|ic| |
|] | |
|6 | |

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebidana forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
|A |= A/B |
|[p| |
|ic| |
|] | |
|B | |

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
|Lí|Si|Si|
|qu|tu|tu||id|aç|aç|
|o |ão|ão|
| |1 |2 |

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma6:3 :: 8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:
|A |= |C |
|[p| |[p|
|ic| |ic|
|] | |] |
|B | |D |

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual aoproduto dos extremos, isto é:
A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
|3 |= |6 |
|[p| |[p|
|ic| |ic|
|] | |] |
|4 | |8 |

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
|x |= |4 |
|[p| |[p|
|ic| |ic|
|] | |] |
|3 | |6 |

Para obter X=2.

Razões e Proporçõesde Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
A________B,    C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.
|m(AB) |= |2 |
|[pic] | |[p|
|m(CD) | |ic|
| | |] |
| | |4 |

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CDestá para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
[pic][pic]
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de...
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