Quimica

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Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com)
Última atualização: 14 de outubro de 2006

4 M u d an ça d e Co o rd e n ad as
Translação e Rotação de Curvas no R²
Introdução
O enfoque dos 3 primeiros capítulos (do capítulo 5 a seguir será
assim também) foi de argumentos geométricos para resoluções de
questões de seções cônicas. O propósito foi mostrar uma saída
alternativa (em muitasvezes mais prática) para soluções de
problemas usando geometria analítica. Nesse capítulo nos
afastaremos um pouco dessa abordagem, voltando um pouco ao
al g e b ri s m o analítico para que possamos estudar um assunto
importante: Mudança de Coordenadas.

4.1 Tran s l ação d e Ei xo s
Consiste em criar um novo sistema de eixos (de mesma natureza,
ortogonal ou não), simplesmentetransladando a sua posição em
relação à original.
Note que, na figura ao
lado, um ponto no plano
pode ser localizado por
suas coordenadas em
relação a um referencial.
O mesmo ponto pode ter
pares de coordenadas
diferentes, dependendo
do referencial tomado.

D e n o tare m o s o s i s te m a d e e i xo s o ri g i n al p o r xo y , e o n o v o p o r
x´oy´.

Como relacionar os pares decoordenadas de eixos
transladados?
Seja (a,b) o par das coordenadas da nova origem do sistema x´oy´
em relação ao sistema xoy.

Da figura ao lado:

xo

a

xo

yo

b

yo

Ou ainda:

xo

xo

a

yo

yo

b

(Equações de Translação de Eixos)

Aplicações: Construção de gráficos
A translação de eixos pode nos ajudar a construir gráficos:
Ex: y

(x

1) ²

Conhecemos ográfico
de y x ² (uma
parábola com vértice na
origem). Com a
translação de eixos,
para um sistema cuja
nova origem seja em
(1,0), podemos

identificar o gráfico de

y

(x

1) ²

Ex 2:

(x

1) ²

(y

4

3)²
9

1

Elipse transladada:


4


9

1

4.2 El i m i n ação d o s te rm o s l i n e are s d e u m a
cu rv a n o R²
Qualquer curva do tipo cônica, ousuas degenerações podem ser
descritas por uma equação, como já vimos. A equação geral de
uma curva desse tipo no R² é:

Ax²

B xy

Cy²

Dx

Ey

F

0

Muitas vezes para identificar uma curva desse tipo (se é elipse,
hipérbole, parábola, ou degeneração) é mais fácil ter a equação na
ausência dos termos lineares (termos em x e y, no nosso caso os
termos D e E). Veremos a seguircomo eliminar esses termos
usando uma translação de eixos.

Das equações de translação temos:

x

a

x

y

b

y

Substituindo na equação geral da curva:
Aa

x´ ²

Ba



b



Arrumando:
A x ´² C y ´² B x ´ y ´ x ´ 2 A a




Bab

Da

Cb

y´ ²

Bb
Eb

D
F

Da

y´ 2 C b



Eb

Ba



F

E

0

Queremos achar a e b tais que ostermos em x´ e y´ sejam 0.
Logo, basta que:

2 Aa
2C b

Bb
Ba

D
E

0
0

Isto é, dada uma curva na forma geral, o sistema que nos dá como
solução o par (a,b) que eliminará os termos lineares por meio de
translação é :

2 Ax
2C y

By
Bx

D
E

0
0

(sistema de eliminação de termos lineares)
OBS Importante:

0

1) Note que F a ² b² Bab Da Eb F , o que correspondea
substituir (a,b) na equação da curva (onde (a,b) é o par
solução do sistema acima)

2) Esse sistema é um resultado geral para qualquer curva. Um
b o m m é to d o m n e m ô n i co p ara d e co rar o s i s te m a, é notar
que a primeira equação nada mais é do que a derivada
parcial da equação da curva geral em relação a x (considerar
y constante e x como variável); a segunda equação é aderivada parcial da equação da curva geral em relação a y
(considerar x como constante e y como variável).
Lembrar que esse é apenas um método mnemônico para
decorar o sistema.

Centro da curva
Estudemos o sistema

2 Ax
2C y

By
Bx

D
E

0
0

Verifiquemos a validade do sistema, pelo seu determinante
principal:

2A
B

B
2C

4 AC



Note que para 4 AC B² 0 não...
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