Questões vestibular matematica ciencia se aplicações

NÚMEROS COMPLEXOS
12 - (UF-RN) Se a e b são números reais tais que o número complexo z = a-bi4-2i tem modulo igual a 1, então: a) a = 2b b) a – b = 2 c) a + b = 6 d) a² – b² =12 e) a² – b² = 20
Solução:

Sendo Z = a-bi4-2i e |Z| =1, temos que:
Z= a+bi4-2i . 4+2i4+2i
Z= 4a+2ai-4bi+2b16-8i+8i+4
Z=4a+2b+2ai-4bi20
Z=4a+2b+2a-4bi20
Z=2a+b10+ a-2bi10

Sabendo que o módulo de um complexo é definido por: |Z|²=x²+y², temos que:
12=2a+b2102+a-2b2102
1=4a²+4ab+b²+a²-4ab+4b²100
1=5a²+5b²100
5a2+b2=100 a²+b²=20 14 - (Unificado - RJ) Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento π3. Sendo z o conjunto de z, a forma algébrica do complexo z é? a) 1-i3 b) 3-i c) 3+i d) 1+3i e) 2(3-i) Solução: Sendo |Z|=2 e θ=60º e Z=a + bi , temos que:

sin60º=b|Z|
32=b2
b=3 cos60º=a|Z| a2=12⟹a=1 Assim, podemos escrever Z na forma algébrica Z= 1 +3i, logo seu conjugado será 1 - 3i
18 - (FUVEST-SP Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo 2+iα+2i é zero, então α é: a) -4 b) -2 c) 1 d) 2 e) 4
Solução:
2+ia+2i×a-2ia-2i⟹2a-4i+ai+2a2-2ai+2ai+4⟹21+aa2+4+(-4+a)ia²+4 ; Como a questão diz que a parte imaginaria é zero devemos achar um valor para a de modo que a parte imaginária seja zero e não contrarie a leis matemáticas, ou seja o denominador não pode ser zero assim usamos somente a parte do numerador. Dessa forma: Im
-4+a=0⟹a=4

19 – (UFF-RJ) Na figura abaixo, os números complexos z1, z2, … , z8 estão sobre os vértices de um octógono regular. Com isso, pode-se afirmar que o produto z8 . z2 . z6 é:
Z8
Z1 = i
Z2
Z5 = -i

Z7 = 1
Z3 = 1
Re
Z6

Z6
Z4

a) Z5 = i z1 b) z4 c) z5 d) z6 e) z8
Solução:
Analisando a figura, pode-se dizer que o valor do módulo de qualquer um dos números complexos equivale-se ao raio da circunferência que mede 1. Com a informação de que os números estão nos vértices de um octógono regular, temos que a