Quadricas

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 47 (11712 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 21 de novembro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Cap´ ıtulo 6 Qu´dricas e superf´ a ıcies
Como as curvas, as superf´ ıcies tamb´m podem ser apresentadas formas distintas: na e forma param´trica, ou como gr´fico de fun¸˜es de 2 vari´veis ou atrav´s de equa¸˜es a 3 e a co a e co vari´veis. a A maioria das chamadas qu´dricas formam os primeiros exemplos de superf´ a ıcies, al´m e dos j´ conhecidos planos e esferas. a a Algumas destas superf´ ıciess˜o superf´ a ıcies cil´ ındricas (reuni˜o de retas paralelas — retas geratrizes—, cada uma passando por um ponto de uma curva diretriz), cones sobre curvas (reuni˜o de retas — retas geratrizes— que passam por um ponto de uma curva a diretriz e por um ponto fixo, chamado v´rtice do cone), ou superf´ e ıcies de revolu¸˜o ca (obtidas girando uma curva diretriz em torno de um eixo fixo). Tantocilindros como cones s˜o regrados (reuni˜o de retas), mas existem outras superf´ a a ıcies n˜o t˜o ´bvias mas a a o regradas, inclusive entre as qu´dricas. a Vamos apresentar inicialmente as qu´dricas na sua forma mais simples, com equa¸˜o a ca reduzida.

300

301

6.1

Introdu¸˜o `s Qu´dricas ca a a

Como as cˆnicas do plano, que podiam ser descritas no sistema cartesiano por equa¸˜es o copolinomiais de grau 2 em duas vari´veis, as qu´dricas no espa¸o s˜o aquelas que podem a a c a ser representadas por equa¸˜es polinomiais de grau 2 em 3 vari´veis. co a p(x, y, z) = a11 x2 +a22 y 2 a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 Como nas cˆnicas, os termos mistos (2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz) representam que os o eixos e planos de simetria est˜o rotacionados em rela¸˜oaos eixos e planos coordenados. a ca Tamb´m como nas cˆnicas, o ponto de simetria (centro da qu´drica) na origem deixa a e o a equa¸˜o sem termos lineares (2a14 x + 2a24 y + 2a34 z). Assim como nas cˆnicas, existem ca o qu´dricas sem centro (parabol´ides) que nunca ficam sem todos os termos lineares. a o   a11 a12 a13 a14     a12 a22 a23 a24   e a matriz  Tamb´m temos a matriz da qu´drica,sim´trica, A =  e a e  a13 a23 a33 a34    a14 a24 a34 a44   a11 a12 a13     da forma quadr´tica Q = a12 a22 a23  a   a13 a23 a33 Em geral, uma qu´drica ´ uma superf´ a e ıcie. Mas h´ degenera¸˜es como vazio, ponto e a co reta. As sec¸˜es planas de uma qu´drica s˜o cˆnicas. J´ vimos o exemplo cl´ssico das co a a o a a sec¸˜es do cone, gerando as cˆnicas. co o Vamos inicialmenteapresentar as qu´dricas com centro na origem, e sem rota¸˜o dos a ca eixos e planos de simetria. Os eixos de simetria s˜o as intersec¸˜es dos planos de simetria. a co

302

6.2

Qu´dricas e suas equa¸˜es, na forma reduzida. a co

Apresentamos inicialmente as qu´dricas com centro (0, 0, 0) (sem termos lineares na a equa¸˜o reduzida): ca 1. Elips´ide o
x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=1y2 b2 x2 a2 x2 a2 z2 c2 z2 c2 y2 b2

Observe que as sec¸˜es pelos planos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0 s˜o elipses: co a Para x = 0, temos no plano coordenado Oyz a elipse Para y = 0, temos no plano coordenado Oxz a elipse Para z = 0, temos no plano coordenado Oxy a elipse
3
3

+ + +

= 1. = 1. = 1.

2 1 z 0 –1 –2 –3 –4 –2 0 –2 2 1 4 2 –1 0 x
z

2 1 0
2 3

0 –1 z –2 –3 –4 –2–1
1

–2
z 0 –1 –2 –3 –4 –3 –1 y –2 –1 1 0 2 0 x

–3 –4

–2

y

0 y 2 –1 4 0 x –2

–2

y

0 –1 2 1 4 2 0 x

–2

Elips´ide o

x2 4

+

y2 16

+

z2 9

= 1 e suas metades, mostrando as sec¸˜es co

Os 3 planos coordenados s˜o planos de simetria, a origem ´ ponto de simetria. a e Observe que se a = b, o elips´ide ´ uma superf´ de revolu¸˜o em torno do eixo o e ıcieca Oz, se a = c, em torno do eixo Oy e se b = c, em torno do eixo Ox. 2. Hiperbol´ide de uma folha o
x2 a2

+

y2 b2



z2 c2

=1
y2 b2 x2 a2

Para x = 0, temos no plano coordenado Oyz a hip´rbole e Para y = 0, temos no plano coordenado Oxz a hip´rbole e Para z = 0, temos no plano coordenado Oxy a elipse
3 2

− −

z2 c2 z2 c2

= 1. = 1.

x2 a2

+

y2 b2

= 1.

2...
tracking img