Quadratica

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FUNÇÃO DO 2º GRAU A função f: R → R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a≠0 é FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Exemplos: f(x) = x² - 2x + 1 → (a = 1, b = - 2, c = 1 ); f(x) = x² - 7 → (a = 1, b = 0, c = - 7); f(x) = 9x² → (a = 9, b = 0, c = 0); f(x) = - 5x² → (a = - 5, b = 0, c = 0); f(x) = - 6x² - 3x → (a = - 6, b = - 3, c = 0).
O SISTEMA CARTESIANO

a>0
Exemplo: f(x) = x² + 1 x -2 -1 0 1 2f(x) 5 2 1 2 5
1 -2 -1 0 1 2 x 2 y 5

a<0
Exemplo: f(x) = - x² + 1
y

x -2 -1 0 1 2

f(x)
1

-3 0 1 0 -3

-2 -1 0

1 2 x

-3

OBSERVAÇÕES No 1º. exemplo, f(x) = x² + 1, temos a = 1 > 0, logo:

a>0

A parábola tem concavidade voltada para cima.

No 2º. exemplo, f(x) = - x² + 1, temos a = - 1 < 0, logo:

a<0

A parábola tem concavidade voltada para baixo.

ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja f(x) =ax² + bx + c, todo x torne f(x) = 0. Exemplo: f(x) = x² - 7x + 6, valores de x para f(x) = 0. • Resolução:

f(x) = x² - 7x + 6 f(x) = 0
= b² - 4ac = (- 7)² - 4.1.6 = 49 – 24 = 25

f(x) = f(x)
-b±√ 2a

x² - 7x + 6 = 0
- (-7) + √25
2.1

x=

x’ = x’ = x’ =

x” = x” =

- (-7) - √25 2.1 7-5 2

7+5
2

12
2

x” = 2 2 x” = 1

x’ = 6 • Conclusão:

Os números 6 e 1 são os zeros ou raízes da função, poissubstituindo-se quaisquer dos valores em f(x), a função é anulada. Veja:

f(x) = x² - 7x + 6 f(6) = 6² - 7.6 + 6 f(6) = 36 – 42 + 6 f(6) = - 6 + 6 f(6) = 0

para x = 6, temos:

f(x) = x² - 7x + 6 f(1) = 1² - 7.1 + 6 f(1) = 1 – 7 + 6 f(1) = - 6 + 6 f(1) = 0

para x = 1, temos:

OBSERVAÇÕES: • > 0 → a função tem dois zeros reais distintos (x’ e x’’). • = 0 → a função tem um zero real duplo (x’ = x’’). •< 0 → a função não tem zero real. ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA As coordenadas do vértice A parábola, que denota o gráfico da função f(x) = ax²+bx+c, passa pelo vértice (V), de coordenadas:

xv = V (xv, yv) yv =

b (abscissa) 2a 4a (ordenada)

Δ>0

a>0
y

a<0
y V
4a

eixo de simetria

0

x”

b 2a

x’

x

4a

0
V

x”

b 2a

x’

x

eixo de simetria

Δ=0
a>0
y eixo de simetria

a<0

y V 0 x’ = x” =b 2a

x

V 0 x’ = x” =
b 2a

x

eixo de simetria

Δ<0
a>0
y eixo de simetria

a<0
y
b 2a

0
V
4a

x

4a

V
0
b 2a

x

eixo de simetria

VALOR MÍNIMO • Quando a > 0: A ordenada (yv) do vértice apresenta valor mínimo.

>0 y y

=0 y

<0

0
V
b 2a

x

V

0

V

x

0

x

V=

,

4a

Im = {y Є IR I y ≥

4a4}

VALOR MÁXIMO Quando a < 0: A ordenada (yv) do vértice apresenta valor máximo.



>0 y
V

=0 yV

<0 y
V

V=

b 2a

,

4a

Im = {y Є IR I y ≤

4a4}

ESTUDO DO SINAL

Δ>0

a>0 +
x”

a<0 +
x”

+

x’

-

x’

x + x

x”

+
x’

+
x”

x

x’

f(x) > 0 para x < x” ou x > x’ f(x) < 0 para x” < x < x’ f(x) = 0 para x = x” ou x = x’

f(x) < 0 para x < x” ou x > x’ f(x) > 0 para x” < x < x’ f(x) = 0 para x = x” ou x = x’

x x

0 0 x

0 0 x x 0

x

Δ=0

a>0

a<0
x’ = x”

+

+ x x

-

-

x’ = x”

x’ = x”f(x) = 0 para x = x’ = x” f(x) > 0 para x ≠ x’ f(x) < 0 , E E E E

f(x) = 0 para x = x’ = x” f(x) < 0 para x ≠ x’ f(x) > 0 , E E E E

/

x real

/

x real

Δ<0

a>0 + + + + + + + + + + x f(x) > 0 para todo x real f(x) = 0, para x real / f(x) < 0 , E E E x -

a<0 x -

-

-

-

x

f(x) < 0 para todo x real f(x) = 0 para x real / f(x) > 0 , E E E E

/

x real

/

x real

INEQUAÇÕES Exemplo: x² - 8x+ 7 > 0

x x

+

+

x

E E E



Resolução:

x² - 8x + 7 = 0 Note que: a = 1 > 0 e f(x) > 0 = b² - 4.a.c = (-8)² - 4.1.7 = 36

x = -b ± √ 2.a
-(-8) ± √36 x= 2.1 8±6 x= 2 Esquema

x’ = x’ =

8+6 2 14 2

x” = x” =

8-6 2 2 2

x’ = 7

x” = 1

+ 1 Como f(x) >0, então o conjunto solução atua conforme segue: S = {x R I x < 1 ou x > 7}

+ 7 x

Determinar o conjunto solução das inequações: • • • - x² + 4≤ 0 x² - 8x + 16 ≥ 0 x² + 7x + 13 < 0 Esquema

Resoluções: • - x² + 4 ≤ 0

a = -1 < 0 e f(x) ≤ 0 - x² + 4 = 0 x = ±√4 x = ± 2, ou seja: x’ = 2 x” = -2

-2 -

+

2 x -

Para f(x) ≤ 0, temos o seguinte conjunto solução: S = {x R I x ≤ -2 ou x ≥ 2}



x² - 8x + 16 ≥ 0

a = 1 > 0 e f(x) ≥ 0 = b² - 4.a.c = (-8)² - 4.1.16 = 64 – 64 =0

x = -b ± √ 2.a
x= -(-8) ± √0 2.1 Esquema

8 x= =4 2 x’ = x” =...
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