Prova ufba

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PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR– 2013 – 2a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

Questão 01
Um lote de livros foi impresso nas gráficas A, B, e C, satisfazendo os percentuais de impressão sobre o total de 25%, 30% e 45%, respectivamente. Sabendo-se que 7% dos livros impressos na gráfica A, 5% dos livros impressos na gráfica B e 3% dos livros impressos na gráfica C estão comdefeito, determine a porcentagem de livros não defeituosos desse lote.

RESOLUÇÃO:
Percentual de livros defeituosos desse lote de x livros:

0,07 × 0,25x + 0,05 × 0,30x + 0,03 × 0,45x = 0,0175x + 0,0150x + 0,0135x = 0,046x Percentual de livros não defeituosos desse lote: 1 – 0,046 = 0,954 = 95,4%.

RESPOSTA: 95,4% é a porcentagem da quantidade de livros não defeituosos em relação ao
total delivros impressos nas três gráficas.

Questão 02
Sendo os afixos dos números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = – 1 – 3i os vértices não consecutivos de um quadrado, determine o volume do sólido gerado pela rotação desse quadrado em torno de um de seus lados.

RESOLUÇÃO:
z1 = 1 + 3i = (1, 3) (afixo de z1 ) e z2 = – 1 – 3i = (– 1, – 3) (afixo de z2 ). A medida da diagonal AC é
d = (1 + 1) 2 + (3 +3) 2 = 4 + 36 = 2 10
2 10 2

Sendo d = l 2 ⇒ l 2 = 2 10 ⇒ l =

=2 5.

Então o sólido gerado pela rotação desse quadrado em torno de um de seus lados é um cilindro de raio altura iguais a 2 5 , logo seu volume é: V = π 2 5 × 2 5 = 40 5π

( )

2

RESPOSTA: O volume do sólido é 40 5π u.v.

Questão 03 f
Considerem-se a função f: R → R, definida pela equação f(x) = a + bx , _a ∈ R, b ∈R * −{1} , + e a sequência ( f(0), f(1), f(2),... ). Sabendo-se que a média aritmética dos três primeiros termos da sequência é igual a 6 e a razão
f(1) 1 = , calcule f(3). f(0) 2

RESOLUÇÃO:
Sendo a média aritmética dos três primeiros termos da sequência igual a 6 e a razão o sistema:
2  f (0) + f (1) + f (2)  = 6 a + 1 + a + b + a + b = 6 2 2    3   3a + b + b = 17 3(1 − 2b) + b+ b = 17 3 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒  f (1) 1 a + 2b = 1 b 2 − 5b − 14 = 0  a + b = 1   =   a +1 2  f (0) 2 

f(1) 1 = , tem-se f(0) 2

(b − 7)(b + 2) = 0 b = 7 ⇒ ⇒ f(x) = −13 + 7 x ⇒ f (3) = −13 + 7 3 = 330.  b = 7 ou b = −2(nãoconvém) a = 1 − 14 = −13 

RESPOSTA: f(3) =330

Questão 04
Determine a área do triângulo ABC, sabendo que • o ponto A é o vértice da parábola P, de equação y +x2 – 4x + 3 = 0; • os pontos B e C são as intersecções da reta r de equação y – 2x + 6 = 0 com a parábola P.

RESOLUÇÃO:

Raízes da parábola y = – x2 + 4x – 3:
− 4 ± 16 − 12 ⇒ x = 1 ou x = 3 −2 1+ 3 A abscissa do vértice A é: x = = 2. 2 A ordenada do vértice é: y = −(2) 2 + 8 − 3 = −7 + 8 = 1 x=

Logo A = (2, 1).
 y = − x 2 + 4x − 3 Resolvendo-se o sistema  tem-se os pontos B   y = 2x− 6 

eC
 y = − x 2 + 4x − 3 x 2 − 2x − 3 = 0 x = −1 tem − se y = −8   ⇒ ⇒ ⇒B   x = −1 ou x = 3 x = 3 tem − se y = 0  y = 2x − 6  = (−1,−8) e C = (3, 0).

Raízes da parábola y = – x2 + 4x – 3:
− 4 ± 16 − 12 ⇒ x = 1 ou x = 3 −2 1+ 3 A abscissa do vértice A é: x = = 2. 2 A ordenada do vértice é: y = −(2) 2 + 8 − 3 = −7 + 8 = 1 x=

Logo A = (2, 1).
 y = − x 2 + 4x − 3 tem-se ospontos B Resolvendo-se o sistema    y = 2x − 6 

eC
2   2 x = −1 tem − se y = −8  y = − x + 4x − 3 x − 2x − 3 = 0 ⇒ ⇒ ⇒B   y = 2x − 6 x = −1 ou x = 3 x = 3 tem − se y = 0   = (−1,−8) e C = (3, 0).

A área do triângulo ABC é dada pela relação:

2 1 1 1 1 1 S = −1 − 2 1 = − 4 + 3 + 6 +1 = 6 = 3 2 2 2 3 0 1

Outro modo de encontrar a área do triângulo ABC: A altura dotriângulo ABC em relação ao lado BC é a distância do ponto A= (2, 1) à reta y – 2x + 6 = 0:
d= 1− 4 + 6 1+ 4 = 3 5 . 5

A medida do lado BC é:
BC = (3 + 1) 2 + (0 + 8) 2 = 80 = 4 5

Então a área do triângulo ABC é:
S= 1 1 3 5 × BC × d = × 4 5 × =6 2 2 5

RESPOSTA: A área de ABC é 6u.a.

Questão 05
Um tampo de mesa de vidro, ao ser transportado, foi trincado em alguns pontos. O único...
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