prova calculo 1 ufmg

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CALCULO
I - PROVA 1 - N2 : GABARITO
13/09/2014
1. Calcule os seguintes limites ln(1 + e3x ) lim √ x→+∞ 4x2 + 5 π limπ x − tan x x→ 2
2

i) ii) Solu¸ c˜ ao
i)

ln e3x e13x + 1 ln(1 + e3x ) lim √
= lim x→+∞ x→+∞
4x2 + 5
|x| 4 + x52

= lim

x→+∞

= lim

x→+∞

3x + ln x 4+

3
4+

1 e3x +1
5
x2

+ lim
5
x2

x→+∞


= lim  x→+∞ ln

1 e3x x

5 x2 ii) Fazendo y = x − π2 e logo x → cos(α + π2 ) = − sen α

π
2

+

4+
=√

1 e3x x

5 x2 x→+∞

3x

+1

x 4+

= lim

ln e3x + ln

5 x2 4+


1 e3x +1 
=
5 x 4 + x2

ln

0+
3
3
+
=
4 + 0+ (+∞) 2

⇒ y → 0 e usando que

sen (y + π2 ) π π lim x − tan x = lim y tan(y + ) = lim y
=
y→0 y→0 x→ π2
2
2 cos(y + π2 ) π y π y lim sen (y + ) ·
=
sen
=
· lim y→0 y→0 − sen y
2
cos(y + π2 )
2
−1
−1
= 1 · lim sen y = 1 · sen y = −1 y→0 lim y→0 y y onde usamos o limite not´avel limy→0

sen y y =1

+1

=

2. Considere a fun¸c˜ao

x+2

f (x) = e x2 +x−2
i) Encontre o dom´ınio de defini¸c˜ao da f (x) ii) Encontre as eventuais ass´ıntotas verticais e horizontais do gr´afico da f (x).
Solu¸
c˜ ao i) Como ey faz sentido para qualquer y → R, s´o precisamos impor que x2 + x − 2 = 0, i.e., sendo x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2), temos que impor x = 1 e x = −2. Logo
Df

= R \ {−2, 1} = (−∞, −2) ∪ (−2, 1) ∪ (1, +∞)

ii) Temos que x+2 1

x+2

1

lim+ e x2 +x−2 = lim+ e (x−1)(x+2) = lim+ e (x−1) = e 0+ = e+∞ = +∞

x→1

x→1

x→1

[observe tamb´em que limx→1

x+2

−

1

1

e x2 +x−2 = limx→1− e (x−1) = e 0− = e−∞ = 0

]

Por outro lado x+2 x+2
1
1
1
lim e x2 +x−2 = lim e (x−1)(x+2) = lim e (x−1) = e −3 = √
3
x→−2 x→−2 x→−2 e Logo f (x) tem como u
´nica ass´ıntota vertical x = 1
Ainda temos que x+2 1

1

+

1

1

−

lim e x2 +x−2 = lim e (x−1) = e +∞ = e0 = 1+ x→+∞ x→+∞

e

x+2

lim e x2 +x−2 = lim e (x−1) = e −∞ = e0 = 1−

x→−∞

x→−∞

Logo f (x) tem como u
´nica ass´ıntota horizontal a reta y = 1

3. Encontre a equa¸ca˜o da reta tangente ao gr´afico da fun¸ca˜o
√
g(x) = 3x + 1 no ponto (1, 2).
Solu¸
c˜ ao De acordo com a interpreta¸ca˜o geom´etrica