Prova Algebra Linear

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1a PROVA DE ALGEBRA LINEAR
NOME DO ALUNO

TURMA

1a Quest˜o (2 pontos) a 
+2z
 x
2x +y +3z
O sistema de equa¸˜es lineares (∗) co 
4x +y +8z crito como produto matricial da forma AX = B.
Podemos resolvˆ-lo efetuando a seguinte opera¸˜o: X e ca
A−1 exista. Para isto:
a) Escreva o sistema (∗) na forma AX = B.
b) Mostre que existe A−1 , usando determinante.
c) Encontre A−1 .
d) Resolva o sistema efetuando X = A−1 B

= 3
= −2
= 1

pode ser es-

= A−1 B, desde que

2a Quest˜o (2 pontos) a Um comerciante de caf´ vende trˆs misturas de gr˜os, da seguinte forma: e e a caf´ angolano caf´ brasileiro caf´ colombiano e e e Mistura da Casa
150 g
50 g
300 g
Mistura Gourmet
50 g
350 g
100 g
Mistura Especial
100 g
200 g
200 g
O comerciante tem ` sua disposi¸˜o 15 kg de caf´ angolano, 15 kg de caf´ a ca e e brasileiro e 30 kg de caf´ colombiano. e Suponha que um pacote da Mistura da Casa dˆ um lucro de R$ 0,50, um e pacote de Mistura Especial dˆ lucro de R$ 1,50 e um pacote de Mistura Gourmet e produza um lucro de R$ 2,00.
Quantos pacotes de cada tipo o comerciante deve preparar se ele quer usar todo seu estoque e maximizar seu lucro?
3a Quest˜o (2 pontos) a Seja W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 2y = 0 e t + 3z = 0} um subconjunto do R4 .
a) W ´ subespa¸o do R4 ? e c
b) Determine dois subconjuntos distintos geradores de W .
4a Quest˜o (2 pontos) a Encontre um subconjunto dos vetores v1 = (1, 1, 2, 4), v2 = (0, 1, −3, −2), v3 = (−2, 0, −10, −12), v4 = (−1, −2, 6, 3) que forma uma base do espa¸o c gerado por estes vetores; em seguida, expresse cada vetor que n˜o est´ na base a a como uma combina¸˜o linear dos vetores da base. ca 5a Quest˜o (2 pontos) a Sendo β1 = {(1, 2), (−1, 1)} e β2 = {(1, 0), (0, 1)} bases ordenadas do R2 .
a) Quais as coordenadas do vetor v = (2, −5) na base β1 ?
b) Ache a matriz de mudan¸a da base β2 para a base β1 . c 1
c) Sendo [w]β2 =
, quais s˜o as coordenadas