Proriedades da função exponencial

Propriedade 1
Mostraremos, primeiro, que f(x) \neq 0 para todo x\in \mathbb{R}. Com efeito, notamos que f(0) = 1 \neq 0. Suponhamos, por contradição, que f(x) = a^x = 0 para algum x\neq 0. Mas, daí temos 0 = a^x a^{-x + 1} = a > 0, uma contradição. Concluímos que f(x) \neq 0 para todo x\in \mathbb{R}.

Como consequência f(x) > 0 para todo x\in \mathbb{R}, uma vez que f(0) = a^0 = 1.

Propriedade 2
Sejam x,y\in \mathbb{R}. Suponhamos, sem perda de generalidade, que x < y. Tomamos, então, p > 0\in\mathbb{R} tal que y = x + p. Segue que a^y - a^x = a^{x+p} - a^{x} = a^x(a^p - 1). Pela propriedade 1, temos a^x > 0. Logo, a^x < a^y se, e somente se, a^p > 1. Como p > 0, a^p > 1 se, e somente se, a > 1. Concluímos que, f(x) < f(y) se, e somente se, a > 1.

Propriedade 3
Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4
Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5
Seja f(x) = a^x com a > 1. Tomamos d\in\mathbb{R} tal que a = 1 + d. Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos a^n > 1 + nd. Logo, dado qualquer L > 0, se escolhemos x como o menor inteiro maior que \frac{L-1}{d}, temos f(x) > L, i.e. f(x) é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para 0 < a < 1.

Propriedade 6
Para qualquer c\in\mathbb{R}, temos f(c) está bem definida. Além disso, temos:

\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{h\to 0} f(c+h) = \lim_{h\to 0} a^{c+h} = \lim_{h\to 0} a^c a^h = a^c \lim_{h\to 0} a^h
Como, \lim_{h\to 0} a^h = 1, seque que:

\lim_{x\to c} f(x) = f(c) .
Lema
Dados um número real a\neq 1 e um intervalo I = [c,~d]\subset\mathbb{R}_+^*, com d > c, então existe um número racional r\in\mathbb{Q} tal que a^r\in I.1

Suponhamos, sem perda de generalidade, que a, c > 1. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural n_1\in\mathbb{N} tal que:

c < d < a^{n_1}.
Como consequência, existe um número natural n_2\in\mathbb{N} tal que:

1 < a < \left(1 + \frac{d - c}{a^{n_1}}\right)^{n_2}.
Daí, segue que:

1 <