Projeto de ar condicionado

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MODELAGEM DE ESTADO

Conceito de Estado
Características e Vantagens
Modelo Geral
Diagrama de Blocos
Formas de Representação
Modelo Físico
Exercícios

Controle de Sistemas Mecânicos

Conceito de estado
O estado de um sistema é o menor conjunto de
variáveis que permita uma descrição completa
do sistema, ou seja, conhecida sua equação
dinâmica e respectivas entradas, os seusestados futuros podem ser previstos.
Por exemplo, para que o deslocamento da massa
em um sistema MMA seja previsto é necessário
que se conheça o deslocamento e velocidade
iniciais e a força exercida ao longo do tempo.
Portanto um possível vetor de estado é o
deslocamento e velocidade, ou diferentes
combinações destas variáveis
Controle de Sistemas Mecânicos

Características do modelo deestado
Domínio do tempo
Notação matricial
Vamos trabalhar com sistemas lineares
invariantes no tempo (LIT), mas pode
representar, da mesma forma, sistemas:
• não lineares
• variantes no tempo
• de múltiplas entradas e saídas

Controle de Sistemas Mecânicos

Vantagens do Modelo de Estado
equações mais adaptadas à solução
computacional, por ser matricial
equações de primeira ordem, onde asolução é
conceitualmente simples e conhecida
em particular para o caso de sistemas LIT, a
mesma estrutura matricial aplica-se a todos os
sistemas

Controle de Sistemas Mecânicos

Modelo de estado geral
Considerando um sistema de ordem n com p entradas e q
saídas

u1

y1

u2

y2

M
up

M
yq

Planta

o modelo mais geral é dado por

[

&
xi (t ) = fi x1, x2 K xn ,u1, u2 Ku p , t

]

i = 1,2Kn

yk (t ) = g k [x1 , x2 K xn , u1 , u2 Ku p , t ] k = 1,2K q
Controle de Sistemas Mecânicos

Sistemas LIT
As equações podem ser resumidas:
equações de estado
&
x ( t ) = f ( x ( t ), u ( t ), t )

y ( t ) = g ( x ( t ), u ( t ), t )

equações de saída

Ou ainda, na forma matricial linearizada p/
parâmetros constantes e invariantes no tempo (LIT):&
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
Onde A é n x n, B é n x p, C q x n e D q x p.

Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama de Blocos Modelo de Estado

u (t )

r (t )
Kp

B

-



y (t )

x(t )
C

A

&
x = Ax + Bu
y = Cx
K

Controle de Sistemas Mecânicos

Representação no Espaço de Estados
Muitas técnicas estão disponíveis
paraobtenção da representação
Representação
no espaço de estados de
não é única
sistemas descritos por equações
diferenciais lineares
•Modelo Físico
• modelo com variáveis físicas
•Formas canônicas
•Controlável
•Observável
•Diagonal
•Jordan
Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício MMA
Para um sistema MMA, determine o modelo de
estado físico correspondente e o seu diagrama
de blocos.
ck
u
&& + y + y =
&
y
m
m
m
c
k
o vetor de estado
m
 x1   y
y

x=  = 
&
x2   y

resposta
y = deslocamento
Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício MMA continuação
&
x1 − x2 = 0
c
k
u
&
x2 + x2 + x1 =
m
m
m

vetor
de
estado

 x1   y
x=  = 
&
x2   y

resposta
y = x1

na forma matricial
0
&
x1  

x  =  k
 &2   −m
y = [1

1
0
x1   

c    +  1 u

 x2   
m

m
 x1 
0] 
 x2 

Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício MMA continuação
na forma matricial padronizada
1
0
0
0
0
1

A=
M
M
M

−a0 −a1 −a2

0
A= k
−
m


0
L 0

OM

L −an−1
L

1
c
−
m


0
0
B= 
M 

1 

0 
B= 
1 

&& +
yc
k
u
&
y+ y =
m
m
m

 (b0 − bn a0 ) 
 (b − b a ) 
C= 1 n 1 


M


(bn −1 − bn an-1 ) 




1
C=
m


0


T

D = bn

D = [0 ]

Controle de Sistemas Mecânicos

Exercício MMA: Diagrama de blocos
Diagrama de blocos do sistema
u
1/m

&& = x2
y&

+
-

∫z

&
y = x2

∫z

y
y = x1

c/m

k/m

notar que as saídas dos...
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