Progressões

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1°ANO – 4° BIMESTRE – MATEMÁTICA – PROFESSOR ARBOÉS
PROGRESSÕES
A) Sequências ou Sucessões
Ex: Anos das Copas
(1990, 1994, 1998, 2002, ...)
1° Termo = a1 = 1990
2° Termo = a2 = 1994
5° Termo = a5 = 2006
n° Termo = enésimo termo = an

B) Leis de Formação de Sequências:
1. an =2.n-1
a1 = 2.1-1=1
a2 = 2.2-1=3
(1,3,5,7,...) : Números Naturais Ímpares
2. an =n2
a1 =12=1
a2 = 22=4
(1,4,9,16,...) : Números Quadrados Perfeitos
3. a1=3an= an-1+2, para n∈N, n≥2
a2 = a1 +2=3+2=5
a3 = a2 +2=5+2=7
(3,5,7,9,...) : Números Naturais Ímpares a partir do 3

C) PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

* Sequência onde a diferença de um termo pelo anterior é constante (razão r)
* Classificação de PA:
1. Crescente (r>0): (2,7,12,17,...)
2.Decrescente (r<0): (20,10,0,-10,...)
3. Constante (r=0): (4,4,4,...)

D) Condição de Existência de PA:
Se (a1, a2, a3) formam uma PA, então:
* r = a2 - a1 = a3 - a2
* a2 = a1+a32 (Média Aritmética)

E) Representação Prática de PA:
* 3 Termos: (x-r, x, x+r)
* 4 Termos: (x-3y, x-y, x+y, x+3y) com r=2.y
* 5 Termos: (x-2r,x-r, x, x+r,x+2r)

F) Fórmula do Termo Geralde PA:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 +2.r
a4 = a1 +3.r
a5 = a1 +4.r
an = a1 +(n-1).r
an = ap +(n-p).r

Onde:
a1 = 1° Termo
an = n° Termo = enésimo termo
n = n° de Termos
r = razão da PA
* Observação: Numa PA finita, a soma de termos eqüidistantes = soma dos extremos
(1,3,5,7,9,11)
1+11=12
3+9=12
5+7=12

G) Interpolação Aritmética:
* Inserir “k” meios (termos)aritméticos entre 2 extremos

H) Soma dos Termos de PA Finita:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
a1 + an = a1 + an
a1 + an = a2 + an-1
a1 + an = a3 + an-2
Sn = n2 (a1 + an) Soma dos termos de PA Finita qualquer
Sn = n2 (n+1) Soma dos n primeiros números naturais positivos

I) Soma dos Termos de PA e Polinômio:
Sn=n2 .a1+an= r2 . n2+a1-r2. n
* A soma dos n primeiros termosde alguma PA é um polinômio de grau 2 sem termo independente;
* Todo polinômio do 2° grau em n, sem termo independente, é o valor da soma dos n primeiros termos de alguma PA;

J) PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG):

* Sequência onde o quociente de um termo pelo anterior é constante (razão q);
* Classificação de PG:
1. Crescente: (2,6,18,54,...) q=3
2. Decrescente:(200,100,50,25,...) q=12
3. Constante: (-5,-5,-5,...) q=1
4. Alternante: (-81,27,-9,3,...) q=-13
* Ache a razão da PG ( ..., -15, 75, ...) onde a12=-15 e a13=75.
q=a13a12=75-15=-5

K) Condição de Existência de PG:
Se (a1, a2,a3) formam uma PG, então:
* q=a2a1=a3a2
* a22=a1 . a3 (Média Geométrica)
* i=a2-a1a1=a3-a2a2 (Taxa de Crescimento)
* q=1+i

L) RepresentaçãoPrática de PG:
* 3 Termos: (x/q, x, x.q)
* 4 Termos: (x/y3, x/y, x.y, x.y3) com q=y2
* 5 Termos: (x/q2, x/q, x, x.q ,x.q2)

M) Fórmula do Termo Geral de PG:

a1 = a1
a2 = a1 . q
a3 = a1 . q2
a4 = a1 . q3
a5 = a1 . q4
an = a1 . qn-1
an = ap . qn-p

Onde:
a1 = 1° Termo
an = n° Termo = enésimo termo
n = n° de Termos
q = razão da PG
* Observação: Numa PG finita, oproduto de termos eqüidistantes = produto dos extremos
(1,2,4,8,16,32)
1 . 32=32
2 . 16=32
4 . 8 =32

N) Interpolação Geométrica:
* Inserir “k” meios (termos) geométricos entre 2 extremos

O) Soma dos Termos de PG Finita:
Sn = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q3 + ... + a1 qn-2 + a1 qn-1
q.Sn = a1 q + a1 q2 + a1 q3 + a1 q4 ... + a1 qn-1 + a1 qn
Sn – q.Sn = Sn (1-q) = a1 . (1-qn)
Sn =a1 . 1-qn1-q para q≠1 note que: Sn = a1-an.q1-q
* Observação Importante:
Se 0<q<1, então:
S∞ = a11-q para soma de todos os termos de uma PG Infinita

P) Produto dos “n” primeiros termos de uma PG finita:

a1 = a1
a2 = a1 . q
a3 = a1 . q2
a4 = a1 . q3
a5 = a1 . q4
an = a1 . qn-1
Pn = a1n . q1+2+3+...+n-1
Pn = a1n . qn.(n-1)2 ou Pn = (a1.an)n2

Pelo produto de...
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