Progressão aritmétrica

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Progressão Aritmética
Introdução.
Uma progressão aritmética (PA) é uma seqüência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é resultado da soma do termo anterior com uma constante, chamada razão.
Exemplo:
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1} razão.
1 2 3 4 5 6 7 8
Observe que cada termo dessa seqüência, exceto o primeiro termo, vai ser resultado da soma do anterior mais um. (o2 é 1 + 1, 3 é 2 +1, 4 é 3 + 1, e assim, por diante). E essa constante que agente sempre soma, vai ser chamada de razão. Essa é a razão da nossa PA.
-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2} razão.
3 1 -1 -3 -5 -7 -9 -11
Observe, idem.
Tipos de PA.
Uma progressão aritmética (PA) pode ser de três tipos:
Crescente (Se os números da seqüência forem crescendo).
Exemplo: (6, 8 10, 12, 14, 16, 18, 20).Decrescente: (Se os números da seqüência forem diminuindo).
Exemplo: (5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2...).
Constante: (Se os números da seqüência não houver mudança).
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...). Nesse caso, a razão da PA vale zero.
Termos de uma PA.
Seja a PA: (1, 3, 5, 7, 9,...) chamamos de a1, a2, a3, an o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo. E assim, por diante.
No exemplo acima,note que: a1=1, a2=3, a3=5, an=Pode ser qualquer número que o problema quiser.
E a razão?
Razão (r): valor somado a cada termo anterior para obter o termo posterior. No exemplo, a razão vale 2.
Fórmula do Termo Geral.
Seja a PA: (1, 3, 5, 7, 9,...). Note que a razão (r) vale 2. Note também que:
a2= a1+r
a3=a1+2r
a4=a1+3r
an=a1+n-1r. Fórmula do Termo Geral.
Exemplo: Achar o número determos da PA (1, 4, 7, 10,..., 109).
Resolução:
r = 4 – 1 = 3
a1=1
an=109
N = ?
Fórmula Geral = an=a1+n-1r, substituindo a fórmula, temos:
109 = 1 + (n-1) 3
109 = 1 + 3n – 3
109 = -2 + 3n
109 + 2 = 3n
111 = 3n → n = 1113 → n = 37. Portanto, nessa PA, temos 37 termos.
Interpolação Aritmética.
Interpolar x meios aritméticos entre dois termos, significa descobrir esses mesmos termosde tal forma, que toda a seqüência seja uma PA.
Exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos, entre -5 e 37.
Resolução:
-5a1 ___ ___ ___ ___ ___ 37a7, veja que:
an=37
n = 7
a1=-5
r = ?
Fórmula Geral = an=a1+n-1r, substituindo a fórmula, temos:
37 = -5 + (7-1) r
37 = -5 + 7r – r
37 = -5 + 6r
37 + 5 = 6r
42 = 6r → r = 426 → r = 7, logo, os números são:
(-5, 2, 9, 16, 23, 30, 37).Propriedade.
Numa PA, o termo médio é a média aritmética dos termos eqüidistantes.
Exemplo: (a1,a2,a3,a4,a5). a3=a1+a52 ou a3=a2+a42 ou a4=a3+a52.
Representações Convenientes.
Em alguns exercícios, é interessante reescrever a PA de outra forma.
Exemplo:
PA de três termos: (a-r), a, (a+r). qual a vantagem disso? Se tiver de somar os três termos, corta (a-r) com (a+r) e sobra apenas o a.
PA de cincostermos: (a-2r), (a-r), a, (a+r), (a+2r). Vantagem novamente, se tiver de somar os cincos termos, corta (a-2r) com (a+2r), corta (a-r) com (a+r) e sobra a. isso facilita a conta.
Agora vamos ver isso em prática.
3 números estão em PA. A soma deles é 21 e o produto 315. Quais são os três números?
Resolução.
(a-r) + a + (a+r) = 21. Corta (a-r) com (a+r), fica 3a = 21 → a = 7. Agora veja que oproduto é igual a 315. Logo, (a-r) . a . (a+r) = 315. Substituindo o valor de a que vale 7, fica: (7-r) . 7 . (7+r) = 315. Desenvolvendo, temos: (49-7r) . (7+r) → 343 + 49r – 49r - 7r2 = 315. Corta +49r com -49r fica: 343 - 7r2 = 315 → 343 – 315 = 7r2 → 28 = 7r2 → r2=287 →r2=4{r = 2 ou r = -2. Por conta disso, vamos ter duas PAs. Uma onde o a, vale 7 e a razão, vale 2. E outra onde o a, vale 7 e arazão, vale -2. Portanto, os três números são: (5, 7, 9) ou (9, 7, 5). Observe que se você substituir o a por 7 e o r por 2 e depois por -2, vai dar esses números. Observe também que, se você somar 5+7+9 = 21 e se você multiplicar 5.7.9 = 315.
Determine a quantidade de múltiplos de 13 entre 20 e 1000. Note que, sempre trabalhar com idéias de múltiplos, você está trabalhando implicitamente com...
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