Progressão aritmética

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TD DE MATEMÁTICA Nome:_______________________________________________ Professor: ANANIAS RIBEIRO
Tel(s): (85) 86960976 / 86189842 / 99255230

Data:____/____/____

ASSUNTO: Progressão Aritmética-01

01.Definição
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 – 2 = 6 – 4 = 10 –8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que: Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão.

03.Classificação
Quanto a razão: (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5. Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente.  (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente. (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária. Quanto ao número de termos:  (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. Toda PAde n° de termos finito é limitada.  (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2, Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.



São exemplos de PA:    (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

04.Propriedades
P1:Três termos consecutivos

02.Notação
PA( a1, a2, a3, a4,...., an) Onde: a1= primeiro termo r = razão n = número de termos( se for uma PA finita ) an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) a1 = 5 r = 4 n = 6 an = a6 = 25

Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo: Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivosquaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

4  12 8  16 20  28  8,  12,...,  24 2 2 2

Rua Eliseu Oriá, 94 – Edson Queiroz – Fortaleza (ce) http://cursoparametro.blogspot.com

1

TD MATEMÁTICA: PROF. ANANIAS RIBEIRO seja a PA ( a1, a2, a3 ) temos que: a2 

CURSO PARÂMETRO Consideremos a PA(3, 7, 11,15, 19, 23, 27, 31). 7 e 27 11 e 23 3 e 31 15 e 19 são os termos eqüidistantes dosextremos

a1  a3 2

Exemplo1: Determine x para que a sequencia ( 3, x+3, 15) seja uma PA X+3 = ( 3 + 15) / 2 => x+3 =9 => x= 6 ( 3, 6+3 , 15) => (3, 9 , 15) exemplo2: Determinar x para que a seqüência (3+x,5x,2x+11) seja PA resolvendo essa equação (3  x)  (2 x  11)

5x 

obtém-se x=2

2

P2: Termo Médio Numa PAqualquer de número ímpar de termos, o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.

05. Termo Geral
Uma PA de razão r pode ser escrita assim: PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an) Aplicando a definição de PA,podemos escrevê-la de uma outra forma: PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an) +r +r +r +r PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )

3  21  12 2

* Representação genérica de uma PA de três termos Para a resolução de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). É de grande utilidade representar uma PA nas seguintes formas: (x, x+r,x+2r) ou (x-r ,x, x+r) onde “r” e a razãoda PA. Exemplo: Determinar a PA crescente de três termos,sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto vale –8 Soma dos termos x-r + x + x+r = 3 => 3x=3 => x = 1 Produto dos termos (1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r2 = - 8 => 1+8 = r2 2 => r = 9 r = +3 ou -3 como a PA é crescente temos que r = 3 resposta (-2,1,4)

+r

Portanto, o termo geral será:

an = a1 + (n-1)r, para n
Exercícios...
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