Produçao de petroleo

Resistência dos Materiais XI

CÍRCULO DE CÍRCULO DE MOHR MOHR PARA PARA TENSÕES TENSÕES

Estado Plano de Tensões Num certo ponto da superfície de um corpo carregado são conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares y σy σx τyx τxy z σy σx

x

Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σ

τ

Representação Gráfica das Tensões no Plano de Mohr σ Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais τ

τ

Marque as tensões normais de tração à direita da origem

0

σ

Marque as tensões normais de compressão à esquerda da origem

τ

Marque para CIMA as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido HORÁRIO

0 Marque para BAIXO as tensões tangenciais que giram o elemento no sentido ANTI-HORÁRIO

σ

Exemplo 1: σx + 50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyx - 40MPa Plote no plano=σ x τ os valores das tensões apresentadas -10 τ 40 50 -40 -10 -10 50

y x -40 50

σ

40

Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo de Mohr σC = ½ (σx + σy) σ

τ

40

Observe o Observe o triângulo triângulo assinalado assinalado

20
-10

C

50

σ
Trace o círculo Trace o círculo com centro em com centro em C passando C eepassando pelos dois pelos dois pontos pontos

40

Os catetos do triângulo valem:

τ

40

τxy = 40 τxy = 40

20
-10

C

50

σ

½ (σ – σ ) = ½ [50-(-10)] = 30 σ ½ (σxx– σyy)= ½ [50-(-10)] = 30 σ

40

A hipotenusa valerá:

τ

40
2 2

τxy = 40 τxy = 40

[ (σ x − σ y )] + τ xy
1 2

30 + 40 > 50
2 2

-10

50 ½ (σ – σ ) = ½ [50-(-10)] = 30 σ ½ (σxx– σyy)= ½ [50-(-10)] = 30 σ

σ

40

A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr

τ σmín= σ R σmín= σcc--R = -30 = -30

40

PORTANTO: σmáx= σ + R σmáx= σcc+ R = 70 = 70

τmáx = R = 50 τmáx = R ==50 R 50

-10

20

50

σ

40

As tensões principais ficam assim determinadas:

σp1 ==σcc++RR==½ ((σxx + σyy))++ σp1 σ ½ σ +σ σp2 ==σcc––RR==½ ((σxx + σyy))-σp2 σ ½ σ +σ τ τ

[½ ((