Produtos notáveis

Produtos notáveis e fatoração
January 29, 2013

Produtos notáveis
1. Quadrado da soma de dois termos

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Quadrado da diferença de dois termos

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3. Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b)(a − b) = a2 − b2
4. Quadrado da soma de três termos

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
5. Cubo da soma de dois termos

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

ou

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

6. Cubo da diferença de dois termos

(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

ou

(a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)

7. Produto de Stevin

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
8. Outros

(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3

Fatoração
1. Fatoração por evidenciação

ab + ac = a(b + c)
2. Fatoração por agrupamento

ax + ay + bx + by = a(x + y ) + b(x + y ) = (a + b)(x + y )
3. Fatoração por reconhecimento de produtos notáveis

1

Exercícios resolvidos
1. Escreva sob a forma de um produto de dois fatores:
(a)

x2 + xy = x(x + y )

(b)

a2 + a = a(a + 1)

(c)

a2 + a4 + a12 − a20 = a2 (1 + a2 + a10 − a18 )

(d)

1 − a14 = (1 − a7 )(1 + a7 )

(e)

a2 − (b − c)2 = [a + (b − c)][a − (b − c)] = (a + b − c)(a − b + c)

2. Fatorar:
(a)

x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), pois (−2) + (−3) = −5 e (−2)(−3) = +6

(b)

49 + 14xm + x2m = (7 + xm )2

(c)

x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3

(d)

x8 − y 8 = (x4 + y 4 )(x4 − y 4 ) = (x4 + y 4 )(x2 + y 2 )(x2 − y 2 ) = (x4 + y 4 )(x2 + y 2 )(x + y )(x − y )

(e)

a4 + a2 +1 = a4 +2a2 +1 − a2 = (a2 +1)2 − a2 = (a2 +1+ a)(a2 +1 − a)

2