Produto vetorial

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TRABALHO DE MECÂNICA – PRODUTO VETORIAL

ALUNOS:

1.0 PRODUTO VETORIAL
Produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular aambos os vetores originais.

1.1 Definição
A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é a × b.
Podemos definí-lo como:

Onde:
* θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores;
* é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.
Obs.1: O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que sãoperpendiculares a a e b simultaneamente: se é perpendicular, então também é.
Obs.2: O módulo do produto vetorial pode ser avaliado pela área do paralelogramo cujos lados são representados pelos vetores fatores:

|a x b| - Área do paralelogramo

O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k).
Uma forma fácil dedeterminar o sentido do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.

2.0 Propriedades
1. vxw = - wxv
2. ux(v + w) = uxv + uxw
3. k(vxw) = (k v)xw = vx(k w)
4. ixi = jxj = kxk= 0
5. ixj = k, jxk = i, kxi = j
6. Se v e w são não nulos e vxw = 0, então v e w são paralelos

O produto vetorial é:
* Anticomutativo:
a × b = -b × a
* Distributivo sobre a adição:
a × (b + c) = a × b + a × c

* Compatível com a multiplicação escalar, tal que:
(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

* Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:
a × (b × c) +b × (c × a) + c × (a × b) = 0

A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R3 junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.
Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a × b = 0.

3.0 Notação Matricial
O vetor unitário i, j e k para um dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades:
i× j = k j × k = i k × i = j

Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo.

Seja:
a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]
e
b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3].
Então:
a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].

* Escrito como o determinante de uma matriz:

*Recuperação do determinante de três vetores:

det (a, b, c) = a · (b × c)

O produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde:

1) Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a2, e b3).

2) Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e entãoos multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a2, e b1). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:

O produto vetorial também pode ser descrito em termos de quaternions. Podemos notar que as relações entre produtos vetoriais i, j, e k concordam com a relação multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a1, a2, a3] como oquaternion a1i + a2j + a3k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real será o negativo do produto escalar de dois vetores).

4.0 Aplicação
O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As...
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