Produto escalar

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Mecânica Geral

Produto Escalar, Produto Vetorial e Momento de uma Força

PRODUTO ESCALAR
O produto escalar define um procedimento particular de “multiplicação” de dois vetores. O produto escalar dos vetores A e B, escrito A⋅B e lido “A escalar B”, é denominado como o produto dos módulos de A e B e o cosseno do ângulo θ entre suas direções, conforme figura abaixo:

E é expresso na forma daequação: A ⋅ B = AB cos θ , p/ 0º ≤ θ ≤ 180º Propriedades de Operação 1. Lei Comutativa:
A⋅ B = B ⋅ A

2. Multiplicação por um escalar:

α A⋅ B = α A ⋅ B = A⋅ α B = A⋅ B α
3. Lei Distributiva:
A⋅ B + D = A⋅ B + A⋅ D

( ) ( ) (

( ) ( ) )

) ( ) (

Operações com vetores cartesianos:
i ⋅ i = (1)(1) cos 0 0 = 1 i ⋅ j = (1)(1) cos 90 0 = 0

i ⋅k = 0 , j ⋅ k = 0 e k ⋅i = 0
j ⋅ j =1, k ⋅ k = 1

Se A = Axi + Ay j + Az k e B = Bxi + By j + Bz k , então: A ⋅ B é:
A ⋅ B = A x i + Ay j + A z k ⋅ B x i + B y j + B z k
⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠

(

)(

)
⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠

A ⋅ B = AxBx ⎜ i ⋅ i ⎟ + AxBy ⎜ i ⋅ j ⎟ + AxBz ⎜ i ⋅ k ⎟ + AyBx ⎜ i ⋅ i ⎟ + AyBy ⎜ i ⋅ j ⎟ + AyBz ⎜ i ⋅ k ⎟ + AzBx ⎜ i ⋅ i ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + A zB i ⋅ j + A z B i ⋅ k
⎛ y⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ z⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

A ⋅ B = AxBx + AyBy + AzBz
Prof. Ismael Freire – Universidade do Grande ABC – UniABC – 1º Semestre de 2009 1

Mecânica Geral

Produto Escalar, Produto Vetorial e Momento de uma Força

Aplicações O produto escalar tem duas importantes aplicações em mecânica. 1. O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam. O ângulo θ entre as direções dosvetores A e B conforme figura anterior pode ser determinado a partir de: A ⋅ B = AB cos θ e escrito como:

θ = cos −1 ⎜

⎛ A⋅ B ⎞ ⎟ , p/ 0º ≤ θ ≤ 180º ⎜ AB ⎟ ⎝ ⎠

Nesta expressão, A⋅B é calculado pela equação A ⋅ B = AB cos θ . Em particular, observe que se A⋅B = 0, e θ = cos-10 = 90°, e, portanto A será perpendicular a B. 2. As componentes de um vetor, paralela e perpendicular a uma linha.A componente do vetor A, paralela ou colinear à linha aa´, representada na figura abaixo, é definida por A||, onde A|| =A cosθ. Esta componente é, em alguns casos, referida como a projeção de A sobre a linha, pois sua determinação é feita a partir de um ângulo reto. Se a direção da linha for especificada através de um vetor unitário u, então, sendo u = 1, podemos determinar A|| diretamente doproduto escalar, isto é:
A = A cos θ = A ⋅ u

Portanto, a projeção escalar de A ao longo de uma linha é determinada a partir do produto escalar de A pelo vetor unitário u que define a direção da linha. Observe que se este resultado for positivo, o sentido de A|| coincidirá com o sentido de u, enquanto se A|| for um escalar negativo, A|| terá o sentido oposto ao de u. A componente A|| representadacomo um vetor será, portanto:
A = A cos θ u = A ⋅ u u

( )

Observe que a componente de A perpendicular à linha aa´pode também ser obtida, figura abaixo. Uma vez que A = A|| + A⊥, então A⊥ = A - A||. Existem duas possíveis formas de obtermos A⊥. A primeira seria determinarmos θ a partir do produto escalar,

θ = cos −1 ⎜

⎛ A⋅u ⎞ ⎟ ⎜ A ⎟ ⎝ ⎠

e, em seguida, A⊥ =A sinθ. A segunda seria apartir do conhecimento de A|| e utilizarmos o teorema de Pitágoras, do qual podemos escrever:
Prof. Ismael Freire – Universidade do Grande ABC – UniABC – 1º Semestre de 2009 2

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Produto Escalar, Produto Vetorial e Momento de uma Força

A ⊥=

A2 − A

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01º) A estrutura mostrada na figura abaixo está submetida a uma força horizontal F = {300j} N.Determine o módulo das componentes desta força paralela e perpendicular à barra AB.

Prof. Ismael Freire – Universidade do Grande ABC – UniABC – 1º Semestre de 2009

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Mecânica Geral

Produto Escalar, Produto Vetorial e Momento de uma Força

Solução: O módulo da componente de F ao longo de AB é igual ao produto escalar entre F e o vetor unitário uB que define a direção de AB,...
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