Problemas resolvidos

PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA (Álgebra Linear)

Achar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

a) (x+1)/3 = (z-3)/4 e y = 1 <=> 4x+4 = 3z-9 e y = 1 <=> z = (4x+13)/3 e y = 1.

Para x = 2 => z = (4.2+13)/3 = 7 e y = 1 => A(2,1,7) (I).

Para x = -1 => z = (-1.4+13)/3 = 3 e y = 1 => B( -1,1,3).

Já temos 2 pontos da reta, assim podemos achar um vetor diretor:

-A -2 -1 -7 B - 1 1 3 _______________

d = (-3 , 0 , -4)

b) x = 2y , z =3.

Para x = 2 => y = 1 e z = 3 => A(2 , 1 , 3)

Para x = -2 => y = -1 e z = 3 => B(-2 , -1 , 3).

Então o vetor diretor pode ser:

-A -2 -1 -3 B -2 -1 3 ______________

d = (-4 , -2 , 0) <=> d = ( 2, 1, 0)

x = 2t , y = -1 , z = 2-t .

Para t = 1 => x = 2 , y = -1 e z = 1 => A(2 , -1 , 1) Para t = -1 => x = -2 , y = -1 e z = 3 => B(-2 , -1 , 3). E …

-A -2 1 -1 B -2 -1 3 _______________

d = (-4 , 0 , 2) <=> d = (2, 0, -1)

y = 3 e z = -1, para qualquer x. Para x = 1 => y = 3 e z = -1 => A(1 , 3 , -1)

Para x = 2 => y = 3 e z = -1 => B(2 , 3 , -1). Daí vem:

02 -A -1 -3 1 B 2 3 -1 ______________

d = (1 , 0 , 0) que podemos generalizar para d = (n , 0 , 0), n não nulo.

e) y = -x e z = 3+x .

Para x = 1 => y = -1 e z = 4 => A(1 , -1 , 4)

Para x = -1 => y = 1 e z = 2 => B(-1 , 1 , 2). Vem …

-A -1 1 -4 B -1 , 1 2 _____________

d = (-2 , 2 , -2) <=> d = (1, -1, 1)

f) x = y = z.

Para x = 1 => y = z = 1 => A(1 , 1 , 1) Para x = 2 => y = z = 2 => B(2 , 2 , 2) …

-A -1 -1 -1 B 2 2 2 ______________

d = (1 , 1 , 1)

Determine as equações das seguintes retas:

a) que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos “x”

Se uma reta é paralela a outra, ambas admitem um mesmo vetor