Problemas resolvidos

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PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA
(Álgebra Linear)

Achar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

a) (x+1)/3 = (z-3)/4 e y = 1 <=> 4x+4 = 3z-9 e y = 1 <=> z = (4x+13)/3 e y = 1.

Para x = 2 => z = (4.2+13)/3 = 7 e y = 1 => A(2,1,7) (I).

Para x = -1 => z = (-1.4+13)/3 = 3 e y = 1 => B( -1,1,3).

Já temos 2 pontos da reta, assimpodemos achar um vetor diretor:

-A -2 -1 -7
B - 1 1 3
_______________

d = (-3 , 0 , -4)

b) x = 2y , z =3.

Para x = 2 => y = 1 e z = 3 => A(2 , 1 , 3)

Para x = -2 => y = -1 e z = 3 => B(-2 , -1 , 3).

Então o vetor diretor pode ser:

-A -2 -1 -3
B -2 -1 3
______________

d = (-4 , -2 , 0) <=> d = ( 2, 1, 0)

x = 2t, y = -1 , z = 2-t .

Para t = 1 => x = 2 , y = -1 e z = 1 => A(2 , -1 , 1)

Para t = -1 => x = -2 , y = -1 e z = 3 => B(-2 , -1 , 3). E …

-A -2 1 -1
B -2 -1 3
_______________

d = (-4 , 0 , 2) <=> d = (2, 0, -1)

y = 3 e z = -1, para qualquer x.

Para x = 1 => y = 3 e z = -1 => A(1 , 3 , -1)

Para x = 2 => y = 3 e z= -1 => B(2 , 3 , -1). Daí vem:

02

-A -1 -3 1
B 2 3 -1
______________

d = (1 , 0 , 0) que podemos generalizar para d = (n , 0 , 0), n não nulo.

e) y = -x e z = 3+x .

Para x = 1 => y = -1 e z = 4 => A(1 , -1 , 4)

Para x = -1 => y = 1 e z = 2 => B(-1 , 1 , 2). Vem …

-A -1 1 -4
B -1 , 1 2
_____________

d = (-2 , 2 , -2)<=> d = (1, -1, 1)

f) x = y = z.

Para x = 1 => y = z = 1 => A(1 , 1 , 1)
Para x = 2 => y = z = 2 => B(2 , 2 , 2) …

-A -1 -1 -1
B 2 2 2
______________

d = (1 , 1 , 1)

Determine as equações das seguintes retas:

a) que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos “x”

Se uma reta é paralela a outra, ambas admitem um mesmo vetordiretor. Assim qualquer vetor do eixo dos “x” serve ao nosso propósito. Em particular o “versor” de Ox …
e d = (1, 0, 0). Então escrevemos:

| x | |+1 | | 1 | x-1 = t
| y | = | -2 | + t. | 0 | => y+2 = 0
| z | | +4| | 0 | z-4 = 0 dessas equações deduzimos que para

Vx => y = -2 e z = 4 (Vx significa qualquer x)

b) que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicularao plano xOz

Se uma reta é perpendicular a um plano, será ortogonal a qualquer reta desse plano. É o que ocorre com o eixo dos “y” em relação aos outros dois. Isto significa que a reta é paralela a Oy e, então o versor d = (0, 1, 0) é diretor da reta procurada e...

03

| x | | +3 | | 0 |
| y | = | +2 | + t. | 1 |
| z | |+1 | | 0 | donde resulta

x – 3 = 0 , y – 2 = te z – 1 = 0 ou x = 3 e z = 1, Vy

que passa por A(2, 3 ,4) e é ortogonal, ao mesmo tempo, aos eixos dos “x” e dos “y”

Como acima, temos d = (0, 0, 1) para vetor diretor e...

| x | | +2 | | 0 |
| y | = | +3 | + t. | 0 | =>
| z | | +4 | | 1 |

x = 2 e y = 3 , Vz.

que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor i – j .Afirma-se que o vetor diretor da reta é d = i – j, onde i = (1, 0, 0) e
j = (0, 1, 0) os conhecidos versores dos eixos Ox e Oy, respectivamente.
Então, recorrendo a conhecido algoritmo vem...

i 1 0 0
-j 0 -1 0
______________

d = ( 1 , -1 , 0) e ….

| x | | +4 | | 1 |
| y | = | -1 | + t. |-1 |
| z | | +2 | | 0 | que resulta em

x – 4 = t , y + 1 =-t e z – 2 = 0 ou, eliminando t entre as duas primeiras equações

y = -x + 3 e z = 2 para qualquer ponto da reta.

e) que passa por M(2, -3, 4) e N(2, -1, 3)

Já temos dois pontos da reta, Basta, agora, encontrar um vetor diretor. Isto faremos
com recurso ao algoritmo já mencionado:

-M -2 +3 -4
N +2 -1 +3
_____________________

d = ( 0 , 2 , -1). Daí vem......
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