Problemas envolvendo Pesquisa Operacional

Problemas envolvendo Pesquisa Operacional

Uma empresa produz uma ração animal a partir da mistura de três ingredientes básicos: os ingredientes 1, 2 e 3 (por exemplo, farinha de osso, soja e resto de peixe), com custos variáveis unitários a, b e c, respectivamente ( em $ /kg). Cada um desses ingredientes possui diferentes quantidades de dois nutrientes necessários a uma dieta nutricional balanceada da ração: os nutrientes 1 e 2 (por exemplo, proteína e cálcio). Seja aij a quantidade de nutriente i (i=1,2) em 1 kg do ingrediente j (j=1,2,3)(por exemplo, a23 é a quantidade de cálcio em 1kg de resto de peixe) e sejam b1 e b2 as quantidades mínimas requeridas dos nutrientes 1 e 2 em cada 1kg de ração, especificadas pelo nutricionista ( por exemplo, b1 é a quantidade mínima de proteína em cada 1kg de ração). Em qual proporção misturar esses três ingredientes de maneira a se obter uma ração de custo variável mínimo e que satisfaça os requisitos mínimos dos nutrientes?
Definindo-se x1, x2 e x3 como as frações dos ingredientes 1,2 e 3 em cada 1kg de ração (mistura), respectivamente, e z como o custo variável dessa mistura, este problema pode ser formulado pelo seguinte modelo de programação linear:
Min z = a x1 + b x2 + c x3 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ≥ b1 a11 x1 + a22 x2 + a23 x3 ≥ b2 x1 + x2 + x3 = 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

Note que a função objetivo minimiza o custo da mistura z, e a primeira e a segunda restrições garantem as quantidades mínimas b1 e b2 requeridas dos nutrientes 1 e 2 em cada 1 kg de ração, respectivamente. A terceira e a quarta restrições impõem que a soma das frações dos ingredientes seja igual a 1 e que cada fração seja não negativa (note que ela pode ser nula). Esse modelo satisfaz as três hipóteses de linearidade e pode ser resolvido pelos métodos de resolução de programação linear.