Problemas elípticos assintoticamente lineares

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Problemas Elípticos Assintoticamente Lineares
Caíke da Rocha DAMKE; Edcarlos Domingos da SILVA

Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás, Campus II- Caixa Postal 131, CEP 74001-970 - Goiânia, GO, Brasil.
E-mail: caikedamke@gmail.com; edcarlos@mat.ufg.br
Palavras chaves: Problema de Dirichlet; Solução Positiva; Teorema do Passo da Montanha; Assintoti-

camenteLinear.

1 Introdução
Nosso trabalho busca estudar a existência e multiplicidade de soluções positivas para o seguinte problema de Dirichlet assintoticamente linear   −∆u = f (x, u(x)),  u = 0,

em Ω. sobre ∂Ω

(1.1)

onde Ω ⊆ RN , para N ≥ 3, é um aberto limitado com fronteira regular e f : Ω × R → R satisfaz as seguintes condições: (H1)f ∈ C(Ω × R); f (x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω; f (x, t) ≥ 0,∀t ≥ 0, x ∈ Ω e f (x, t) ≡ 0,
∀t ≤ 0, x ∈ Ω; f (x, t) (H2) é não-decrescente com respeito a t ≥ 0, ∀x ∈ Ω; t f (x, t) f (x, t) (H3)lim = µ; lim = l uniformemente ∀x ∈ Ω, onde µ ∈ [0, +∞), l ∈ t→∞ t→0 t t 1 (0, +∞] são constantes e µ < λ1 ≤ l e λ1 é o primeiro autovalor do Laplaciano (−∆, H0 (Ω)).

Para garantir a existência e multiplicidade de soluções necessitamos vericar que o funcionalenergia relacionado ao problema
J(u) = 1 2 | u|2 dx −
Ω Ω

F (x, u)dx,

(1.2)

onde F (x, u) =
0

u

f (x, s)ds, satisfaz a condição de Palais-Smale, a ser descrita abaixo. Além

disso, devemos garantir que (1.2) possua a geometria do Passo da Montanha e obtendo a existência de solução do problema (1.1).

2 Resultados e Discussão
Primeiramente, começaremos com algumas deniçõesbásicas.

Denição 2.1. Seja u ∈ L1 (Ω). Dizemos que uma função vi ∈ L1 (Ω) é uma derivada fraca loc loc
de u, se
u
Ω

∂ϕ dx = − ∂xi

vi ϕdx
Ω ∂u ∂xi

(2.3) e dizemos que u é fracamente

∞ para toda ϕ ∈ C0 (Ω) . Neste caso, denotamos vi =

diferenciável se todas as derivadas fracas de primeira ordem de u denem funções em L1 (Ω) e loc vale (2.3). Considere o seguinte espaço de funções
W1,2 (Ω) = u : Ω ⊆ RN → R : u ∈ L2 (Ω) e ∂u ∈ L2 (Ω), ∀i = 1, ..., N ∂xi

1,2 ∞ chamado de espaço de Sobolev. Denimos também W0 (Ω) = C0 (Ω) ∩ W 1,2 (Ω).

Agora, temos suporte para denir o que vem a ser solução fraca do problema (1.1).

Denição 2.2. Dizemos que uma função u ∈ H1 (Ω), onde H1 (Ω) = W01,2 (Ω), é solução fraca 0 0
para o problema (1.1), se
u. ϕdx =
Ω Ω

f (x, u)ϕdx, ∀ϕ ∈H1 (Ω) 0

(2.4)

Obter uma solução fraca do problema (1.1) é equivalente a encontrar um ponto crítico nãonulo do funcional J que é de classe C 1 . Este resultado pode ser obtido em [1], capítulo 5. Necessitamos, agora, introduzir o Teorema do Passo da Montanha, mas para isto deniremos sequência de Palais-Smale e de Cerami e quando um funcional satisfaz a condição de Palais-Smale e de Cerami.Seja H um espaço de Hilbert. Então denimos:

Denição 2.3. Seja {un } uma sequência em H. Dizemos que {un } é uma sequência de PalaisSmale, ou simplismente (P S), em H se {J(un )} é limitado e J (un ) −→ 0, quando n → ∞. Se
J(un ) −→ c, então a (P S)-sequência é denotada por (P S)c -sequência. Analogamente, dizemos

que uma sequência {un } em H é uma sequência de Cerami no nível c ∈ R seJ(un ) − − c e (1 + un ) J (un ) −→
n→∞ H∗

−− 0 −→

n→∞

Considere J : H → R um funcional de classe C 1 .

Denição 2.4. Diz-se que o funcional J satisfaz a condição (P S), respectivamente (P S)c , em
H, se para toda (P S)-sequência, respectivamente (P S)c -sequência, possui uma subsequência

convergente na norma. E dizemos que J satisfaz a condição de Cerami se para toda sequência deCerami no nível c ∈ R possui uma subsequência convergente na norma. O Teorema do Passo da Montanha necessita que o funcional (1.2) satisfaça duas condições descritas a seguir.

(PM-1) J ∈ C 1 (H1 (Ω), R), J(0) = 0 e ∃r, ρ > 0 tais que 0
J(u) ≥ ρ, ∀u ∈ Sr = {u ∈ H1 (Ω) : u = r} 0

(PM-2) ∃e ∈ H1 (Ω) com e > r tal que J(e) ≤ 0. 0
Dizemos que quando um funcional satisfaz (PM-1) e (PM-2)...
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