Problemas de Algebra

PROFESSOR CASTANHEIRA
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BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com x 3  x 2 − 333x − 1001 = 0 .

01) Sejam α, β e γ as três raízes complexas da seguinte equação em x:
24 x 3 − 46 x 2  29 x − 6 = 0 .

Resolução:
Utilizando a Recorrência de Newton da equação:

Calcule:
W3  W 2 − 333W1 − 1001W 0 = 0
α  β α  γ  β  γ  .

W3 

Resolução:



2

b − 2ac

α  β  α  γ β  γ =

a

2

46
24

29
24

6
24

−

 

− 333 −

b a − 1001  3  = 0

W3  667  333 − 3003 = 0

α  β  γ  αβ  αγ  βγ − αβγ =

    



W 3 = 2003 .
Exercício: Considere as três raízes complexas de:

=

x 3  5x  8 = 0 .

595
.
288

Mostre que a soma dos seus cubos é (−24).
04) Determine todos os números complexos x, y e z tais que:

Resposta: (595/288).
02) Calcule:

x  y  z = 3
9

6

3

7  4⋅7  5⋅7  2
344 2

.

E
2

2

x  y  z

Resolução:

f x =

 x  1 2

x  x 2  4x  4   x  2
2

x  1

x3  y3  z3 = 3 .

Resolução:
=

Note inicialmente que:

x 2  y 2  z 2  2  xy  xz  yz = x  y  z 2 .

=

Donde (verifique!):

2

x x  2   x  2
2

x  1

 x  2 x 2  2x  1
2

x  1

= 3

E

Note inicialmente que devemos calcular f (73) onde para cada número complexo x diferente do oposto de um (verifique!): x 3  4x 2  5x  2

2

xy  xz  yz = 3 .

=

Note ainda que: x 3  y 3  z 3  3  x  y  z  xy  xz  yz − 3xyz

=

3

=  x  y  z .

x  2 .

Donde (verifique!):

Donde:

xyz = 1 .

f 7 3  = 345 .

Segue que x, y e z são as raízes da equação cúbica (verifique!):

Resposta: 345.
03) Determine a soma dos cubos das três raízes complexas de:

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w3 − 3w 2  3w − 1 = 0 .

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