Probabilidade

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18
Probabilidade Condicional
Sumário
18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 18.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . .

1

Unidade 18

Introdução
18.1 Introdução

Nessa unidade, é apresentada mais uma técnica básica importante em probabilidades, a chamada Probabilidade Condicional. Usa-se essa técnica quando se quer calcular aprobabilidade de um evento, na presença de uma informação privilegiada. Mais precisamente, é uma maneira de calcular a probabilidade de ocorrer um evento B, sabendo que ocorreu o evento A, ambos do mesmo espaço amostral. Por exemplo, numa turma de 60 alunos, 30 só estudam inglês, 20 só estudam espanhol e 10 estudam ambas as línguas. alizado, com apenas um vencedor. Suponhamos que um sorteio é re-

Aprobabilidade de um aluno que estuda

ambas as línguas ser sorteado é igual a número de alunos que estudam ambas as línguas número total de alunos

=

10 1 = . 60 6

Agora, suponhamos que o sorteio é realizado, e alguém nos sopra que o sorteado estuda inglês. Isto certamente vai inuir no nosso modo de calcular a

probabilidade do vencedor ser bilíngue, pois agora o espaço amostral se reduzaos 40 alunos que estudam inglês, dos quais 10 também estudam espanhol; logo, a probabilidade passa a ser

10 1 = . 40 4

O resultado é tão simples quanto mostrado no exemplo acima, mas, se bem aplicado, resolve problemas incríveis!

18.2

Probabilidade Condicional

Exemplo 1

Consideremos a experiência que consiste em jogar um dado não-viciado e observar a face de cima. TemosConsideremos o evento

B = {o

resultado é par}. isto é,

antes que a experiência se realize.

3 P (B) = = 0, 5. 6

Essa é a probabilidade de

B a priori,

Suponhamos que, realizada a experiên-

cia, alguém nos informe que o resultado não foi o número 1, isto é, que

A = {o

resultado é diferente de 1} ocorreu.

Nossa opinião sobre a ocorrência de

B

se modica com essainformação pois

passamos a ter apenas 5 casos possíveis, dos quais 3 são favoráveis à ocorrência

2

Probabilidade Condicional
a

Unidade 18

de

B.

Essa opinião é quanticada com a introdução de uma probabilidade ou probabilidade de

posteriori,

B

na certeza de

A,

P (B|A) =

3 = 0, 6. 5

Note que os casos possíveis não são mais todos os elementos do espaço amostral

Se sim os elementos de

A

e que os casos favoráveis à ocorrência de

B

não são mais todos os elementos de

B

e sim os elementos de

A∩B

pois só

os elementos que pertencem a

A

podem ocorrer.

A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de uma turma, por sexo e por carreira pretendida. masculino cientíca humanística total Escolhe-se ao acaso um aluno. feminino totalExemplo 2

15 3 18

5 7 12

20 10 30

Sejam M, F, C e H os eventos, o aluno

selecionado é do sexo masculino, é do sexo feminino, pretende uma carreira cientíca e pretende uma carreira humanística, respectivamente. Temos

P (H) =

10 1 = ; 30 3

P (H|M ) =

3 1 = ; 18 6 7 P (H|F ) = ; 12 7 P (F |H) = . 10

Dados dois eventos

A

e

B,

com

P (A) = 0,

aprobabilidade condicional

de

Definição 1

B

na certeza de

A

é o número

P (B|A) =

P (A ∩ B) . P (A)

Probabilidade Condicional

3

Unidade 18

Probabilidade Condicional

Na realidade, poucas vezes usaremos a fórmula acima para calcular uma probabilidade condicional. Usá-la-emos, isto sim, para o cálculo de

P (A ∩ B);

P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A).

Exemplo 3Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem brancas.
Solução. Sejam

B1 =

{a primeira bola é branca} e

B2 =

{a segunda bola é

branca}. Temos

P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 ) · P (B2 |B1 ) =
Note que foi bastante simples o cálculo de

2 4 3 · = . 10 9 15
Realmente, na...
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