Probabilidade

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LISTA DE PROBABILIDADES - GABARITO

1) As jogadoras Arminda(A) e Belisária(B) lançam um dado, uma vez cada uma. Vence o jogo quem tirar o maior número de pontos. Se a jogadora A obtiver o resultado 2, qual é a probabilidade de:

a) A vencer o jogo? b) haver empate? c) B vencer o jogo?

Solução. O espaço amostral dos resultados dos dados écomposto de 36 pares ordenados. Como é informado que a jogadora A obteve resultado 2, o espaço amostral é reduzido. Considerando que Arminda jogou antes de Belisária, os pares serão representados com a 1ª coordenada 2. Temos então Ω = {(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)} com seis elementos.

a) Arminda (A) vence o jogo se Belisária obtiver resultado menor que 2. Há somente o par (2,1).Logo,

b) Haverá empate se os resultados forem idênticos. Há somente o par (2,2).
Logo,

c) Belisária (B) vence o jogo se obtiver resultado maior que 2. Há os pares (2,3), (2,4), (2,5) e (2,6). Logo,

2) Considere todas as permutações do número 927. Sorteando uma delas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:

a) múltiplo de 9 b) Múltiplo de 5Solução. Um número é múltiplo de 9 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 9 ou múltiplo de 9. Será múltiplo de 5 se o algarismo das unidades simples for 0 ou 5.

a) Qualquer que seja a permutação de 927, a soma dos algarismos será 9 + 2 + 7 = 18. Ou seja, sempre será múltiplo de 9. Logo,

b) Nenhum dos algarismos de 927 é 0 ou 5. Logo

3) Lançando-se uma moeda, nãoviciada, ao acaso três vezes, qual a probabilidade de saírem três caras?

Solução. Em cada lançamento há dois resultados possíveis: cara (c) ou coroa (k). Em três lançamentos o espaço amostral é Ω = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}. O evento pedido com três caras é E = {ccc}. Logo,

4) Lançando-se uma moeda, não viciada, ao acaso três vezes, qual a probabilidade de saírem duas caras euma coroa?

Solução. O espaço amostral é Ω = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}. O evento pedido, com duas caras e uma coroa, é E = {cck, ckc, kcc}. Logo,


5) Num saco há bolas numeradas de 1 a 10. Serão sorteadas sucessivamente três dessas bolas. Qual a probabilidade de que os três números sorteados sejam ímpares?

Solução. Os ímpares de 1 a 10 são 1, 3, 5, 7 e 9. Total de cincoalgarismos. O espaço amostral é composto pelos resultados do sorteio de três números dentre os dez. Logo, . O evento pedido são os resultados do sorteio de três ímpares dentre os cinco. Logo, . A probabilidade procurada é

6) A Mega-Sena é o jogo que paga milhões para o acertador dos 6 números sorteados. Para realizar o sonho de ser o próximo milionário, você deve marcar de 6(apostamínima) a 15 números, entre os 60 disponíveis no volante.
O matemático Tristão Garcia disse, em uma entrevista, que se você não jogar na mega sena é impossível ganhar. Se você jogar é quase a mesma coisa (...).
Determine a probabilidade de um apostador ganhar na mega sena marcando um único cartão com aposta mínima (ou seja, marcando apenas 6 números) e comprove a afirmativa do matemático.
(OBS: Use acalculadora).

Solução. O espaço amostral é composto pelos resultados do sorteio de seis números dentre os sessenta disponíveis na cartela. Logo, . O ganhador será aquele que marcar os seis números do sorteio. Ele tem apenas uma chance com a aposta mínima. A probabilidade será muito pequena justificando a afirmativa do matemático.

7) Dois times de futebol, Vasco e flamengo, são os únicosque têm chance de serem campeões de um torneio. Restando um jogo para cada um deles, não entre si, o Vasco está com um ponto a mais que o flamengo. Mas, se eles terminarem o campeonato com o mesmo número de pontos, o campeão será o flamengo. Supondo que, em cada jogo, a probabilidade de cada time vencer é , e que a do empate também é , calcule a probabilidade do Vasco ser campeão.
OBS:...
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