Probabilidade

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Probabilidade

Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo
de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá
base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas utilizadas nas tomadas de
decisões.
Os conceitos fundamentais em probabilidade são experimentos aleatórios,
espaço amostral e eventos.Fenômeno aleatório (ou experimento aleatório) é a situação ou acontecimento
cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Ex: as condições climáticas para
o próximo domingo não podem ser estabelecidas com total acerto. (Modelos podem ser
estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências nessas situações).
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultadospossíveis, de um
experimento aleatório. Ele será representado pela letra grega Ω (ômega).
Quanto ao número de elementos pode ser:
(i) Finito: Número limitado de elementos;
Ex.: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) Infinito: Número ilimitado de elementos, pode ser sub-dividido em:
a – Enumerável: Quando os possíveis resultados puderem ser postos em concordância
biunívoca (correspondênciabiunívoca consiste em atribuir a cada objeto de um
conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se
esgotem.) com o conjunto dos números naturais (N) (caso das variáveis aleatórias
discretas). Ex.: N
b - Não Enumerável: Quando os possíveis resultados não puderem ser postos em
concordância biunívoca com o conjunto dosnúmeros naturais (caso das variáveis
aleatórias contínuas). Ex.: R
Evento : Os subconjuntos de Ω são denominados eventos e podem ser
representados pelas letras maiúsculas A, B,.... .
O conjunto vazio será representado por Φ, como já é tradicional.
Podem-se ter operações entre eventos da mesma forma que com conjuntos,
como é mostrado a seguir.

Operações com Eventos

A uniãode dois conjuntos A e B, denotada por A U B, representa a ocorrência de pelo
menos um dos eventos, A ou B. É o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B ou
ambos ocorrerem;

A interseção do evento A com o evento B, denotada por ∩ é a ocorrência simultânea de
A e B.

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em
comum. Isto é, A ∩ B = ΦDizemos que A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua
interseção é vazia. O complementar de A será dado por A c e temos que A U A c = Ω e A
∩ A c = Φ.


Exercício:

Lançam-se duas moedas. Sejam os eventos:
A: saída de faces iguais.
B: saída de cara na primeira moeda.
Determinar os eventos:
 ∪ ,  ∩ ,  ,  ,  ∪  ,  ∩  4.2 Definição axiomática de probabilidade
Uma função ∙ é denominada probabilidade se satisfaz as condições:

  0 ≤  ≤ 1, ∀  ⊂ Ω;
  Ω = 1;
    


 =    ,  ! 
′"


# !$%&'!, % !($),
 ∪  =  + 

Essas propriedades são conhecidas como axiomas de Kolmogorov.Os axiomas,
muitas vezes, se inspiram em resultados experimentais e que, assim, definem a
probabilidade de forma que possa ser confirmada experimentalmente.
A partir daí, pode-se mostrar que valem as seguintes relações:

1 – Se A e B são dois eventos quaisquer, então,
 ∪  =  +  −  ∩ 

2- Para o evento complementar vale a seguinte relação:
   = 1− 

3 – Se  ⊂ , (&'),  ≤ 

Exercício: Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que  = 0,2;
 = -;  ∪  = 0,5;  ∩  = 0,1. Determine o valor de p.
R: p = 0,4 regra da adição (1)

4.3 Probabilidade condicional

Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu é
representada por...
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