Probabilidade

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Probabilidade
Introdução

A Teoria das Probabilidades surgiu no século XVI, com o objetivo de analisar os
jogos de azar, como os jogos de cartas e a roleta. O primeiro matemático a
conceituar probabilidade e a calculá-la foi Cardano (1501 - 1576) e, em seguida,
Galileu Galilei (1564 - 1642) que analisou e enunciou problemas sobre jogos de
dados. O real desenvolvimento da Teoria dasProbabilidades pode, todavia, ser
atribuído a Fermat (1601 - 1665) e a Pascal (1623 - 1662).
Pascal descreveu a fórmula da probabilidade de um evento A como sendo:

No século XX, vários matemáticos se dedicaram à Probabilidade, tais como
Lebesgue, Poincaré, Borel e Andrei Kolmogorov (1903 - 1987). Este último deu um
tratamento axiomático à Teoria das Probabilidades, inserindo-a no campo da Teoriados Conjuntos. Hoje a Teoria das Probabilidades aparece relacionada com a
Estatística que tem aplicações nos mais diversos ramos do conhecimento.
1.2

Definições

Um experimento é denominado aleatório ou casual quando pode apresentar
resultados diferentes quando repetido em condições idênticas.
O lançamento de uma moeda para o ar com a observação da face voltada para cima
quando a moedacai no solo é um exemplo de experimento aleatório.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que
são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados
a serem obtidos.
A medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades denomina-se
probabilidade.
Denominamos espaço amostral de um experimento o conjunto de todos osresultados possíveis para esse experimento. Indica-se o espaço amostral por U
(universo), Ω (letra Omega) ou ainda S.
Exemplos:
1. No lançamento de uma moeda honesta o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
2. No lançamento de um dado e observando-se a face voltada para cima o espaço
amostral é: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

IBTA
BD/Redes/Web/SI
Matemática Aplicada
Módulo I
Professor:Antonio Carlos

Qualquer subconjunto do espaço amostral é denominado evento. Simbolizaremos
os eventos por letras latinas maiúsculas.
Por exemplo, considerando como experimento o lançamento de um dado e
observando-se a face voltada para cima, são eventos do espaço amostral U os
seguintes conjuntos:
A: sair número natural maior do que 4.
A = { 5, 6}
B: sair um número primo e par.
B = { 2}
C:sair um número ímpar
C = { 1, 3, 5}
D: sair um número natural maior que 6.
E: sair um número natural menor que 10.
E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se o subconjunto possui apenas um elemento ele é chamado evento elementar. O
evento B é um exemplo de evento elementar.
Se o subconjunto é vazio, denominamo-lo evento impossível. O evento D é um
exemplo de evento impossível.
Se o subconjunto é o próprioespaço amostral, denominamo-lo evento certo. O
evento E é um exemplo de evento certo.
Espaços amostrais equiprováveis são espaços amostrais nos quais os eventos
elementares possuem todos a mesma chance de ocorrer.
1.3

Probabilidade de ocorrer um evento

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento, ou
seja, um subconjunto de U. A probabilidade P(A) deocorrência do evento A será
calculada pela fórmula:

n(A) = número de elementos de A
n(U) = número de elementos do espaço amostral U.

IBTA
BD/Redes/Web/SI
Matemática Aplicada
Módulo I
Professor:

Antonio Carlos

Exemplos:
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a)

sair o número 3.

Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Logo n(U) = 6 e A = {3}. Logo n(A) = 1. Aprobabilidade
procurada será:
P(A) = 1/6
b)

sair um número par.

Seja o evento B = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será:
P(B) = 3/6 = 1/2
c)

sair um múltiplo de 3.

Seja o evento C = {3, 6}, então n(C) = 2. Logo P(C) = 2/6 = 1/3
2. Considere o lançamento de dois dados e a observação das faces voltadas para
cima. Calcule a probabilidade de:
a)

sair a...
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