Probabilidade

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PROBABILIDADE
  
  A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
    Experimento Aleatório
     É aquele experimento quequando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
    Espaço Amostral
     É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
    Exemplo:    Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
    S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a)      A ou B ocorrem;
b)      B e C ocorrem;c)      Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
 
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B  C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B  Ac  Cc   =   {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A C = 

Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, nolançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes:
1. Se Ae A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

 
Probabilidade Condicional
 Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e oevento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
 Fórmula de Probabilidade Condicional
 P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
 Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 eE2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
 
    Exemplo:
    Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
    Resolução:
    Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos osseguintes eventos:
    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
    Assim:
    P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
 
    Eventos independentes
    Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
    Fórmula da...
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