Probabilidade e estatistica

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Capítulo 4

Contagem,
Probabilidade e
Estatística

145

146

O problema
dos discos
Adaptado do artigo de

Roberto Ribeiro Paterlini

Temos aplicado o problema do jogo dos discos em
classes de estudantes de Licenciatura em
Matemática e temos acompanhado colegas
professores que o tem aplicado no ensino médio e
fundamental. O problema tem feito muito sucesso.
O problema dojogo dos discos
Uma escola estava preparando uma Feira de
Ciências e foi pedido aos estudantes que bolassem
um jogo que servisse para arrecadar fundos. Os
estudantes observaram que no salão da Feira o piso
era feito com quadrados de 30 cm de lado, desses
quadrados de Paviflex. Pensaram então em
construir discos de papelão de um certo diâmetro
d que seriam comprados pelos visitantes por
R$1,00 cada um. O visitante jogaria o disco
aleatoriamente no piso. Se o disco, depois de pousar
no piso, tocasse um lado de um quadrado, ele
perderia para a escola o que tinha pago. Se, ao
contrário, acertasse o disco inteiramente dentro de
um quadrado, ele receberia R$ 2,00 (R$ 1,00
como devolução e mais R$ 1,00 como prêmio).

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O problema dos estudantes consistia em determinar odiâmetro d dos
discos de modo que o jogo resultasse favorável à escola. Observaram
que quanto menor d, melhor para o jogador, e quanto maior d, melhor
para a escola. O favorecimento para a escola não deveria ser exagerado,
pois, se o jogo fosse muito desfavorável para o jogador, ninguém iria
querer jogar. Resolveram que uma probabilidade de 60% favorável à escola
seria adequada.
Pergunta 1
Comodeterminar o valor de d que resulta em uma probabilidade de
40% favorável ao jogador e de 60% à escola?
Pergunta 2
Qual será, em média, o ganho da escola se 500 discos forem vendidos
na feira?

Resposta da Pergunta 1
Sob condições ideais podemos supor que lançar o
disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu
centro aleatoriamente. Assim, a probabilidade p de o
jogador ganhar (nonosso caso 40%) é a mesma
probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro
do quadrado de lado 30, cair dentro do quadrado de
lado 30 − d .
Da definição de probabilidade geométrica temos
ou
Como queremos p = 40% = 0,4, obtemos
No caso geral de um quadrado de lado l e probabilidade p do jogador
ganhar, uma solução análoga fornece
portanto,

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e

Apresentamos o gráfico deObserve que

c om

é um zero duplo de

As duas linhas pontilhadas na figura acima mostram como se obtém
graficamente o valor de d tal que

Resposta da Pergunta 2
Se 500 discos forem vendidos na feira, a arrecadação bruta será
R$ 500,00. Supondo que em 40% das jogadas (200 jogadas) os jogadores
ganhem, a escola pagará R$ 400,00. Sobrará R$ 100,00 para a escola.
Comentários sobre ouso do jogo dos discos em sala de aula
Participando de um projeto dos Departamentos de Matemática e Física
da UFSCar tivemos a oportunidade de orientar um grupo de professores
que aplicaram o problema do jogo dos discos em suas escolas.
Para resolver o problema por experimentação foram construídos discos de madeirit ou de borracha com diâmetros 4, 6, 8, 10, 12 e 14 cm.
Os professores observaramque devem ser feitos pelo menos 200
lançamentos para cada diâmetro e para facilitar a experiência foram feitos
10 discos de cada diâmetro.

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d

p

4
6
8
10
12
14

75,5%
68,5%
62%
50%
38%
32%

Os resultados obtidos em uma classe estão dispostos na tabela acima,
sendo d o diâmetro dos discos, em cm, e p a probabilidade de o
jogador ganhar.

No gráfico estãodispostos os pontos obtidos. Os estudantes, usando
uma folha de papel quadriculado e uma régua, desenharam a curva que
lhes pareceu ser a que melhor se aproximava dos pontos dados e obtiveram
a solução
(ligeiramente diferente do que obtivemos no gráfico).
Ao fazer nosso gráfico (acima), usamos o aplicativo computacional Maple V para obter a função quadrática que mais se aproxima dos pontos
dados....
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