Probabiliadades

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Explicações de Matemática, Estatística, Física, Química e Economia

Axiomática de Kolmogorov
12.º Ano Matemática A

A probabilidade é uma noção primitiva, e consequentemente é um ponto de partida, não definível. A cristalização desta ideia só se deu tardiamente, depois de várias tentativas de definição em que se procurava remendar defeitos de anterioresconceitos. A axiomatização que vai seguir-se deve muito a Bernstein e à decisiva contribuição de Kolmogorov (Maistrov 1974). Sejam ε uma experiência aleatória qualquer, S um correspondente espaço amostral e A um acontecimento qualquer de S . Chama-se probabilidade de A , e denota-se por p ( A) , o número real associado a A que satisfaz os seguintes axiomas: A1 ) p ( A) ≥ 0 ; A2 ) p ( S ) = 1 ; A3 ) Se A eB são dois acontecimentos incompatíveis, então p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) . • Definições / Teoremas / Observações / Exemplos: Observação: Se A e B são dois acontecimentos equiprováveis, de um mesmo espaço amostral S , então assumiremos que a função p , que iremos trabalhar no 12.º ano, é tal que p ( A) = p ( B ) . Teorema-1: A probabilidade do acontecimento ∅ é 0, isto é, p ( ∅ ) = 0 .Teorema-2: A probabilidade de qualquer acontecimento A é um número compreendido entre 0 e 1, isto é, 0 ≤ p ( A) ≤ 1 . Teorema-3: A probabilidade do acontecimento contrário de A é igual à diferença entre 1 e a probabilidade de A , isto é, p A = 1 − p ( A) . Teorema-4: Probabilidade da diferença entre dois acontecimentos: p A ∩ B = p ( A) − p ( A ∩ B ) . Teorema-5: Probabilidade da reunião de doisacontecimentos:

( )

(

)

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) .
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Prof: Ricardo Alho 11090710503 www.2mais2.com.pt

Exemplo: Selecciona-se, aleatoriamente, um número pertencente ao intervalo ]3,8] . Determine a probabilidade de o número pertencer ao intervalo ]4, 6] . 2 Resposta: Intuitivamente, aprobabilidade é . Como poderemos justificar este resultado? 5 Se assumirmos que S = {]3, 4] , ]4,5] , ]5,6] , ]6,7] , ]7,8]} 1, tem-se que os acontecimentos

{]3, 4]},{]4,5]},{]5,6]},{]6,7]} e {]7,8]}
têm a mesma probabilidade.

são todos igualmente possíveis e consequentemente
2 , isto é, 5

Queremos provar que probabilidade de o número pertencer ao intervalo ]4, 6] é que a probabilidadedo acontecimento Ora: p ( S ) = 1 , por ii)

{]4,5] , ]5,6]} é

2 . 5

({]3, 4] , ]4,5] , ]5, 6] , ]6, 7] , ]7,8]}) = 1 ⇔ p ({]3, 4]} ∪ {]4,5]} ∪ {]5,6]} ∪ {]6,7 ]} ∪ {]7,8]}) = 1 ⇔ p ({]3, 4 ]}) + p ({]4,5]}) + p ({]5, 6]}) + p ({]6, 7 ]}) + p ({]7,8]}) = 1 , por iii)
⇔p ⇔ x + x + x + x + x =1 1 ⇔x= . 5 Logo p (“o número pertence ao intervalo ]4, 6] ”) = p

({]4,5] , ]5,6]}) = p({]4,5]} ∪ {]5, 6]})

=p

({]4,5]}) + p ({]5, 6]}) = x + x = 1 + 1 = 2 . 5 5 5

• Exercícios:

1-De dois acontecimentos A e B , associados à mesma experiência aleatória sabe-se que
A ⊆ B . Prove que p ( A) ≤ p ( B ) .

2-Demonstre os teoremas 1, 2, 3, 4 e 5. 3-Lança-se um dado perfeito com as faces numeradas de 1 a 6 verificando logo de seguida o número da face que fica voltada para cima. 3.1.Determine o espaço amostral. 3.2. Baseando-se apenas nos axiomas e teoremas atrás enunciados, determine a probabilidade de 3.2.1. sair um número inferior a 10; 3.2.2. sair o número 8; 3.2.3. sair um número par; 3.2.4. sair o número 5.
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S poderia ser outro conjunto? A resposta é afirmativa! ____________________________________________________________

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Para estaexperiência aleatória, Prof: Ricardo Alho 11090710503 www.2mais2.com.pt

4-Numa sala estão 14 pessoas. Determine a probabilidade de haver pelo menos duas com o mesmo signo. 5-Lançam-se simultaneamente três dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os números saídos. Determine a probabilidade do acontecimento A : “o produto dos números saídos é 220”. 6-Selecciona-se,...
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