Principio da Indução Finita (PIF).

Principio da Indução Finita (PIF).

1-O que é PIF?

R: é um método matemático de demonstração dedutiva que permite ao matemático concluir se uma indução ou proposição matemática é completamente verdadeira ou falsa.

2-Qual é sua importância?

R: O principio da Indução Finita, serve para demonstrar propriedades dos números naturais, bem como definir conceitos envolvendo os números naturais. Por exemplo, se m pertence a N e n pertence a N, então m+n pertencem a N e m.n pertencem a N.

3-Quando é que podemos utilizar o PIF?

R: O princípio da indução finita é uma implicação. A tese desta implicação é uma sentença da forma “P(n) é verdadeira para todos os n inteiros positivos”. Portanto, sempre que desejamos demonstrar que alguma propriedade é válida para todo inteiro positivo n, uma tentativa é o uso da indução matemática como técnica de demonstração. Livro: Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, 3ª Edição, pág. 57

4-Quais são as limitações de PIF?

R: A Indução Finita é usada somente em Matemática para demonstrar teoremas de um certo tipo.

5-Escolha duas demonstrações completas utilizando PIF, entenda-as e coloque-as aqui:

Primeira:
Podemos provar que

O que deve-se fazer é mostrar que SE isso é verdade para , ENTÃO também o é para
.
Nota: Para provar uma afirmação condicional, assume-se que a condição é verdadeira e mostra-se que o consequente segue-se necessariamente.

Nesse caso, assumiremos para um dado .

O que precisamos mostrar é que, dada essa assunção, necessariamente:

Como?
Olhemos apenas para o lado esquerdo da igualdade:

Se substituirmos parte dele pelo lado direito da nossa assunção, ficamos com

Simplificando sucessivamente, chegamos a:

Ora:

é igual a

Logo, a afirmação é verdadeira.
O que acabamos de mostrar? Mostramos que SE a fórmula valer para , ENTÃO ela valerá para . Observe-se que não definimos exatamente quem era . Isso significa que provamos que: se ela vale