Primitivas

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Primitivação
A primitivação é a operação inversa da derivação.
Definição: Seja f uma função definida num intervalo I.
Qualquer função F definida e diferenciável em I tal que
F x  f x , para todo o x I,
diz-se uma primitiva de f em I.
f diz-se primitivável em I se admitir uma primitiva em I.
Naturalmente, se F for uma primitiva de f, também F  C (em
que C é uma constante) é uma primitivade f.
Mais, num intervalo, todas as primitivas de uma dada função
diferem de uma constante:
Proposição: Sejam F e G duas primitivas de f num intervalo I.
Então, F e G diferem de uma constante.
Notação: P x f x , Pf x e Þ f x dx representam (em geral) todas
as primitivas de f.
Questões:
Pxf x

?

Px f x

?

Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

Primitivas 1

Propriedades dasPrimitivas
Proposição: Sejam f e g funções primitiváveis no intervalo I e
 R. Então, nesse intervalo, tem-se que:
1. P f x  g x
2. P f x

 Pf x  Pg x ;

 Pf x ;

Atenção: a primitiva do produto não é o produto
das primitivas!!!
Proposição: Se f é uma função contínua num intervalo, então f é
primitivável nesse intervalo.
Mais:
Proposição: Se f é uma função contínua no intervalo I,para
cada x 0 I e y 0 R, existe uma e uma só primitiva F de f em I
tal que
F x0  y0.
F x0  y0

condição inicial do problema

A esta questão, de determinar a (única!) primitiva que verifica
uma certa condição inicial, chama-se Problema de valores
iniciais ou Problema de Cauchy.
Exemplo: Sabendo que a velocidade de uma partícula é dada por
v t  e 2t , determine a lei do movimento,considerando que no
instante inicial se encontra na origem.
Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

Primitivas 2

Recordemos algumas regras de derivação:
Sendo u e v funções deriváveis e 

R:

  0;
uv

 u v;

u

 u ;

u. v

 u v  uv ;


u
v

u
n

u v uv
, se
v2
1

 u u


u

0;

em particular,

1
v



v
v2

;

u
nn

v

un 1

, c/n

resulta tb. do ant. c/  

N;

eu

 u eu;

au

 u a u ln a, c/ a  0;

1
n

ln u



u
u



log a u

resulta do anterior

;
, c/ a  0;

1u
ln a u



portanto, log 10 u
sen u

 u sen u;

tg u

 u sec 2 u

u
u ln 10

 u cos u;

cos u

resulta do anterior

recorde-se que sec x 

cotg u

 u cosec 2 u

arctg u



arccotg u
arcsin u



arccos u



sec u

u
1 u 2

;

recorde-se que cosec x 

1
senx

;

;
u
1 u 2

u
1 u2

;

resulta do anterior

;

resulta do anterior

;

u
1 u2

 u sec u tg u;

Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

1
cos x

cosec u

 u cosec u cotg u.
Primitivas 3

Separando - Propriedades: se f e g são funções diferenciáveis
fg
ft  f t g t ;
t  f t , c/ 

R;

t  f t g t f t g t ;

f. g
f
g

f t gt ftg t
g2 t

t

, se g t

g tf gt

fgt

0;

derivação da composta

Derivadas conhecidas:
  0;
x
n

 x  1 ;


x

1
nn

, c/ n

xn 1

N;

ex

 a x ln a, c/ a  0;

1
n

 ex;

ax

resulta tb. do ant. c/  

ln x



1
x

resulta do anterior

;log a x



sen x

 cos x;

cos x

 sen x;

tg x

 sec 2 x

1
x ln a

, c/ a  0;

recorde-se que sec x 

cotg x

 cosec 2 x

arctg x



arcsin x



arccos x



sec x

1
1 x 2



arccotg x

resulta do anterior

;

recorde-se que cosec x 

1
senx

;

;
1
1 x 2

1
1 x2

;

resulta do anterior

;

resulta do anterior;

1
1 x2

 sec x tg x;

Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

1
cos x

cosec x

 cosec x cotg x.
Primitivas 4

Algumas primitivas imediatas
Função

Primitiva
cos x  C

sin x

sin x  C

cos x
x, 

1, x  0

x 1
1

C

1
x

ln|x |  C

1
1 x 2
1

arctan x  C

1 x2

arcsin x  C

Uma tabela de primitivas, é uma tabela de derivadas...
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