Potência

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4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=xn, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=xn para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir.

A forma geral do gráfico de f(x)=xn depende de a ser par ou ímpar. Vamos considerar vários casos: 1o caso) n é um número natural ímpar maior do que 1. Considere, por exemplo, as funções: y= x3 , y= x5 e y=x7 a) Domínio: IR b) Todosos gráficos passam pela origem. c) Tomemos alguns valores para x e calculemos as respectivas imagens. x -3 -2 -1 -1/2 -1/3 0 1/3 1/2 1 2 3 y= x3 -27 -8 -1 -1/8 -1/27 0 1/27 1/8 1 8 27 y= x5 -243 -32 -1 -1/32 -1/243 0 1/243 1/32 1 32 243 y=x7 -2187 -128 -1 -1/128 -1/2187 0 1/2187 1/128 1 128 2187

Podemos concluir: • Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). • Todasas funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. Definição de função ímpar: f(-x)=-f(x), para todo x pertencente ao domínio de f, isto é, quando atribuímos a x valores simétricos, as imagens possuem o mesmo valor absoluto, mas diferem em sinal. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 1



Quando x aumenta muito, o mesmo sucede as imagens dessa função. Se x aumentamuito em valor absoluto, porém com sinal negativo, o mesmo sucede com as imagens.

Gráfico:

d) Imagem(f)=IR Se n for ímpar, então f(x)=x n será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de y=x3. Observe a seguir, no entanto, que à medida que n cresce, o gráfico de y=xn torna-se mais achatado quando próximo de zero e mais inclinado quando |x|≥1. 2o caso) Suponhamos que n seja par e maior doque 2. a) b) c) d) Considere, por exemplo, as funções: y= x2 , y= x4 e y=x6 Domínio: IR Imagem: conjunto dos reais não negativos: IR+. Todos os gráficos passam pela origem. Tomemos alguns valores para x e calculemos as respectivas imagens. x -3 -2 -1 -1/2 -1/3 0 1/3 1/2 1 2 3 y= x2 9 4 1 ¼ 1/8 0 1/8 1/3 1 4 9 y= x4 81 16 1 1/16 1/81 0 1/81 1/16 1 16 81 y=x6 729 64 1 1/64 1/729 0 1/729 1/64 1 64729

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Podemos concluir: • Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,1) e (1,1). • Todas as funções desse tipo são exemplos de funções pares Definição de função par: f(-x)=f(x), para todo x pertencente ao domínio de f, isto é, quando atribuímos a x valores simétricos, as imagens são iguais. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo 0y. • Quando x aumentamuito, o mesmo sucede as imagens dessa função. Se x aumenta muito em valor absoluto, porém com sinal negativo, as imagens aumentam muito e são positivas.

Se n for par, então f(x)=xn será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola y=x2.

3o caso) suponhamos que n seja um número impar negativo. Consideremos por exemplo a função: f(x)=x -1 = 1/x. a) Domínio: IR-{0} b) Interceptos(interseção com o eixo 0x ou 0y): não há. Tomemos alguns valores para c e calculemos as respectivas imagens x y -2 -1/2 -1 -1 -1/2 -2 -1/3 -3 -1/4 -4 ¼ 4 1/3 3 ½ 2 1 1 2 ½ 3 1/3

c) Gráfico: é uma hipérbole. d) Imagem: IR-{0} e) É uma função ímpar: f(x)=-f(-x) 3

Pode-se verificar (construindo-se tabelas de valores) que as demais funções desse tipo, por exemplo, f(x)=x -3 = 1/ x 3 ou f(x)= x -5 = 1/ x5) possuem um padrão gráfico semelhante ao da função 1/x. 4o caso: Suponhamos que n seja par negativo Consideremos por exemplo a função: f(x)=x -2 = 1/ x 2 a) Domínio: IR-{0} b) Interceptos: não há. c) Façamos a escolha de alguns valores para x e calculamos as respectivas imagens:

O gráfico dessa função é dado a seguir.

d) Imagem(f)=IR * (conjunto dos reais positivos) + e) Todas as funçõesdesse tipo são exemplos de funções pares, isto é, Quando atribuímos a x valores simétricos as imagens são iguais, isto é, f(-x)=f(x), para essas funções. Podemos concluir que: • Quando x aumenta muito, as imagens se aproximam de zero. Se x aumenta muito em valor absoluto, porém com sinal negativo, as imagens também se aproximam de zero. Quando x se aproxima de zero por valores positivos, as...
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