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Matemática Aplicada II

  Centro Fed deral de Edu ucação Tec cnológica de e Minas Ger rais 

Matriz M Sistem mas Line eares

Prof Patrícia Dutr Magalhães f.: ra e-T Brasil – Ma Tec atéria da discip plina Matemátic Aplicada ca

 

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  Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 

Meta
 

Apresentar as matrizes,suas operações e propriedades. Aprender a resolver problemas que envolvem sistemas lineares.

Objetivos
 

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Reconhecer problemas cujos dados podem ser  representados através de matrizes.  Efetuar operações com matrizes e aplicar suas  propriedades.   Resolver problemas que envolvem matrizes. Resolver problemas que envolvem sistemas lineares pelo  método de escalonamento. 

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1 – Introdução 
  “Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um  grupo  ordenado  de  números  que  se  apresentam  dispostos  em  linhas  e  colunas  numa  tabela. Essas tabelas são chamadas na Matemática de matrizes.” (DANTE, 2005) O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja  cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre  outras. Vejamos um exemplo.     A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:     A  B  C   Química  8  6  4  Inglês  7  6  8  Literatura 9  7  5  Espanhol  8  6  9 

    Se quisermos saber a nota do aluno B, em Literatura, basta procurar o número  que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.       Vamos agora considerar uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas,  como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes: 

        Em  tabelas  assim  dispostas,  os  números  são  os  elementos.  As  linhas  são  enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:      Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são  denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.       Veja mais alguns exemplos: 



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  é uma matriz do tipo 2 x 3    
 

  é uma matriz do tipo 2 x 2. 

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2 – Notação geral 
    Costuma‐se representar  as  matrizes  por  letras  maiúsculas  e  seus  elementos  por  letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e  a coluna que o elemento ocupa.     Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: 

  ou, abreviadamente, A = [aij]m x n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a  coluna  que  o  elemento  ocupa.  Por exemplo,  na  matriz  anterior,  a23  é  o  elemento  da  2ª  linha e da 3ª coluna.    temos:     Na matriz  

       Ou na matriz B = [ ‐1   0   2   5 ], temos: a11 = ‐1,  a12 = 0,   a13 = 2 e  a14 = 5. 

 

 

  3 – Denominações especiais 





Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha.   Por exemplo, a matriz A =[4   7  ‐3 1], do tipo 1 x 4.        Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, 



   do tipo 3 x 1        Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e  colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz 

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    é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.      Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária.   A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = 

n + 1.      Veja: 

Observe a matriz a seguir: 

 

  a11 = ‐1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1   ...
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